Considere o cilindro circular descrito por X(u, v)=(a cos u, a sen u, v),(u, v) in R^2, a>0. Descreva a aplicação normal.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro circular descrito pela função paramétrica X(u, v) = (a cos u, a sin u, v) , onde a > 0 e (u, v) in R^2 . O objetivo é descrever a aplicação normal desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial, para encontrar o vetor normal à superfície do cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície do cilindro. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função X(u, v) em relação a u e v :
Xu = partial Xpartial u = ( -a sin u, , a cos u, , 0 )
Xv = partial Xpartial v = ( 0, , 0, , 1 )
Esses vetores nos mostram as direções nas quais a superfície se estende conforme variamos u e v .

Passo 3

Com os vetores tangentes Xu e Xv em mãos, podemos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial desses vetores:
N = Xu times Xv
Calculando o produto vetorial:
N = i & j & k - a sin u & a cos u & 0 0 & 0 & 1 = ( a cos u, , a sin u, , 0 )

Passo 4

Agora, para obter o vetor normal unitário, que é a aplicação normal desejada, precisamos normalizar N . Primeiro, calculamos o comprimento de N :
|N| = raiz(a cos u)^2 + (a sin u)^2 + 0^2 = raiza^2 (cos^2 u + sin^2 u) = raiza^2 = a
Então, o vetor normal unitário n é dado por:
n = N|N| = ( a cos ua, , a sin ua, , 0 ) = ( cos u, , sin u, , 0 )

Resposta

A aplicação normal do cilindro é n(u, v) = ( cos u, , sin u, , 0 ) .

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