Considere o cilindro circular descrito por . Descreva a aplicação normal.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro circular descrito pela função paramétrica , onde e . O objetivo é descrever a aplicação normal desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e produto vetorial, para encontrar o vetor normal à superfície do cilindro.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície do cilindro. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função em relação a e :
Esses vetores nos mostram as direções nas quais a superfície se estende conforme variamos e .
Passo 3
Com os vetores tangentes e em mãos, podemos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial desses vetores:
Calculando o produto vetorial:
Passo 4
Agora, para obter o vetor normal unitário, que é a aplicação normal desejada, precisamos normalizar N . Primeiro, calculamos o comprimento de N :
|N| = raiz(a cos u)^2 + (a sin u)^2 + 0^2 = raiza^2 (cos^2 u + sin^2 u) = raiza^2 = a
Então, o vetor normal unitário n é dado por:
n = N|N| = ( a cos ua, , a sin ua, , 0 ) = ( cos u, , sin u, , 0 )
Resposta
A aplicação normal do cilindro é n(u, v) = ( cos u, , sin u, , 0 ) .