Seja alpha o plano de equação x+2y-2z+7=0, beta o plano de equação x+2y-2z-5=0, r1 a reta cuja equação vetorial paramétrica é (x, y, z)=(1,1,5)+(2,-3,-2)t, e r2 a reta cujas equações simétricas são x-5-4=y-13=z-11. Com base nessas informações responda se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças: A reta r1 está contida no plano alpha.

Passo 1

O enunciado dá o plano alpha de equação
x + 2y - 2z + 7 = 0
e a reta r1 na forma paramétrica
(x,y,z) = (1,1,5) + t,(2,-3,-2)
Para mostrar que uma reta está contida num plano, precisamos verificar duas coisas:
  1. O vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano (logo a reta é paralela ou contida).
  2. Um ponto qualquer da reta satisfaz a equação do plano (logo a reta intercepta o plano).

Passo 2

O vetor normal de alpha é n = (1,2,-2) e o vetor diretor de r1 é v = (2,-3,-2). Calculamos o produto escalar:
ncdotv = 1cdot2 + 2cdot(-3) + (-2)cdot(-2) = 2 - 6 + 4 = 0
Como ncdotv=0, a reta r1 é paralela ao plano alpha.

Passo 3

Agora verificamos se o ponto inicial (1,1,5) de r1 pertence a alpha. Substituímos em x + 2y - 2z + 7:
1 + 2cdot1 - 2cdot5 + 7 = 1 + 2 - 10 + 7 = 0
Como o valor é zero, o ponto (1,1,5) está no plano alpha.

Passo 4

Tendo o vetor diretor paralelo ao plano e um ponto da reta também no plano, concluímos que a reta r1 está inteiramente contida em alpha.

Resposta

Verdadeiro.

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