Considere as seguintes curvas:
.
Parametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.
Parametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por
e precisamos parametrizá-la pelo comprimento de arco, achar o triedro de Frenet (que são os vetores tangente, normal e binormal), a curvatura e a torção. Para isso, vamos usar cálculo vetorial básico, derivadas e algumas fórmulas da geometria diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que parametrizar uma curva pelo comprimento de arco significa que a velocidade do movimento ao longo da curva é constante e igual a 1. Para isso, precisamos calcular o comprimento de arco
desde
até um ponto qualquer
.
Passo 3
Calculamos a derivada da curva
:
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada para achar a velocidade:
Então, o comprimento de arco
é:
Passo 4
Para parametrizar pelo comprimento de arco, resolvemos
para
:
Substituindo isso na expressão original da curva:
Passo 5
Agora, vamos achar o triedro de Frenet. Primeiro, o vetor tangente
é a derivada da curva em relação a
:
Simplificando:
Passo 6
O próximo passo é encontrar o vetor normal
, que é a derivada de
em relação a
dividida pela curvatura
. Vamos calcular a derivada de
:
A curvatura
é a magnitude de
:
Então, o vetor normal
é:
Passo 7
Agora, vamos achar o vetor binormal
, que é o produto vetorial de
e
:
Calculando o produto vetorial:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a torção
. A torção mede como a curva está “girando” em relação ao plano osculador. A fórmula para a torção é:
Calculando as derivadas necessárias:
Calculando o determinante:
Portanto,
.
Resposta
A parametrização pelo comprimento de arco é
O triedro de Frenet é dado por:
A curvatura
é
e a torção
é
.