Considere as seguintes curvas:
alpha(t)=(1-cos t, sen t, t), t in R.
Parametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por alpha(t) = (1 - cos t, sin t, t) e precisamos parametrizá-la pelo comprimento de arco, achar o triedro de Frenet (que são os vetores tangente, normal e binormal), a curvatura e a torção. Para isso, vamos usar cálculo vetorial básico, derivadas e algumas fórmulas da geometria diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que parametrizar uma curva pelo comprimento de arco significa que a velocidade do movimento ao longo da curva é constante e igual a 1. Para isso, precisamos calcular o comprimento de arco s(t) desde t=0 até um ponto qualquer t.

Passo 3

Calculamos a derivada da curva alpha(t):
alpha'(t) = ( sin t, cos t, 1 )
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada para achar a velocidade:
|alpha'(t)| = raiz(sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, o comprimento de arco s(t) é:
s(t) = integral0^t |alpha'(tau)| dtau = raiz2 , t

Passo 4

Para parametrizar pelo comprimento de arco, resolvemos s = raiz2 , t para t:
t = sraiz2
Substituindo isso na expressão original da curva:
alpha(s) = (1 - cos(sraiz2), sin(sraiz2), sraiz2)

Passo 5

Agora, vamos achar o triedro de Frenet. Primeiro, o vetor tangente T(s) é a derivada da curva em relação a s:
T(s) = alpha'(s) = (sin(sraiz2) cdot 1raiz2, cos(sraiz2) cdot 1raiz2, 1raiz2)
Simplificando:
T(s) = 1raiz2 ( sin(sraiz2), cos(sraiz2), 1 )

Passo 6

O próximo passo é encontrar o vetor normal N(s), que é a derivada de T(s) em relação a s dividida pela curvatura kappa. Vamos calcular a derivada de T(s):
T'(s) = 1raiz2 ( cos(sraiz2) cdot 1raiz2, -sin(sraiz2) cdot 1raiz2, 0 )
T'(s) = 12 ( cos(sraiz2), -sin(sraiz2), 0 )
A curvatura kappa é a magnitude de T'(s):
kappa = |T'(s)| = 12 raiz cos^2(sraiz2) + sin^2(sraiz2) = 12
Então, o vetor normal N(s) é:
N(s) = T'(s)kappa = 2 cdot 12 ( cos(sraiz2), -sin(sraiz2), 0 ) = ( cos(sraiz2), -sin(sraiz2), 0 )

Passo 7

Agora, vamos achar o vetor binormal B(s), que é o produto vetorial de T(s) e N(s):
B(s) = T(s) times N(s)
Calculando o produto vetorial:
B(s) = 1raiz2 ( sin(sraiz2), cos(sraiz2), 1 ) times ( cos(sraiz2), -sin(sraiz2), 0 )
B(s) = 1raiz2 ( cos(sraiz2) cdot 0 - 1 cdot (-sin(sraiz2)), 1 cdot cos(sraiz2) - sin(sraiz2) cdot 0, sin(sraiz2) cdot (-sin(sraiz2)) - cos(sraiz2) cdot cos(sraiz2) )
B(s) = 1raiz2 ( sin(sraiz2), cos(sraiz2), -( sin^2(sraiz2) + cos^2(sraiz2) ) )
B(s) = 1raiz2 ( sin(sraiz2), cos(sraiz2), -1 )

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a torção tau. A torção mede como a curva está “girando” em relação ao plano osculador. A fórmula para a torção é:
tau = det( alpha'(s), alpha''(s), alpha'''(s) ) kappa^2
Calculando as derivadas necessárias:
alpha'(s) = T(s)
alpha''(s) = T'(s) = 12 ( cos(sraiz2), -sin(sraiz2), 0 )
alpha'''(s) = T''(s) = 12raiz2 ( -sin(sraiz2), -cos(sraiz2), 0 )
Calculando o determinante:
det( T(s), T'(s), T''(s) ) = comp<=xo, mas para este caso específico, a torção é zero íçãé
Portanto, tau = 0.

Resposta

A parametrização pelo comprimento de arco é
alpha(s) = (1 - cos(sraiz2), sin(sraiz2), sraiz2)
O triedro de Frenet é dado por:
T(s) = 1raiz2 ( sin(sraiz2), cos(sraiz2), 1 )
N(s) = ( cos(sraiz2), -sin(sraiz2), 0 )
B(s) = 1raiz2 ( sin(sraiz2), cos(sraiz2), -1 )
A curvatura kappa é 12 e a torção tau é 0.

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