Considere a superficie X(u, v)=(u, v, f(u, v)), onde f: U \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é uma função diferenciável. Obtenha a aplicação normal N(u, v).

Passo 1

O enunciado pede a aplicação normal de uma superfície grafo de uma função diferenciável f(u,v). Em teoria de superfícies, para X(u,v) parametrizar uma superfície, a aplicação normal unitária
N(u,v)
é dada por
N(u,v) \;=\;\frac{X_u(u,v)\times X_v(u,v)}{\bigl\lVert X_u(u,v)\times X_v(u,v)\bigr\rVert}.
Aqui vamos identificar X_u e X_v, calcular o produto vetorial e depois normalizar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de X(u,v)=(u,v,f(u,v)):
X_u(u,v) = \bigl(1,\;0,\;f_u(u,v)\bigr), \qquad X_v(u,v) = \bigl(0,\;1,\;f_v(u,v)\bigr).

Passo 3

Fazer o produto vetorial
X_u \times X_v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & f_u\\\\ 0 & 1 & f_v \end{vmatrix} = (-f_u,\;-f_v,\;1).

Passo 4

Calcular o módulo de ( -f_u,-f_v,1 ):
\bigl\lVert(-f_u,-f_v,1)\bigr\rVert = \sqrt{(-f_u)^2 + (-f_v)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + f_u^2 + f_v^2}.
Então a aplicação normal unitária é
N(u,v) = \frac{(-f_u,\,-f_v,\,1)}{\sqrt{1 + f_u^2 + f_v^2}}.

Resposta

N(u,v) = \frac{1}{\sqrt{1 + f_u(u,v)^2 + f_v(u,v)^2}} \bigl(-f_u(u,v),\,-f_v(u,v),\,1\bigr).

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