Considere um cilindro circular reto, inscrito em um cone circular reto, de altura H e raio da base R. Determine a altura e o raio do cilindro de volume máximo.

Passo 1

Temos um cone circular reto de altura H e raio da base R. Inscreve-se nesse cone um cilindro circular reto de altura y (medida a partir da base do cone) e raio r. O problema é de otimização de volume usando geometria (semelhança de triângulos) e derivadas.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o geratriz do cone e a geratriz do cone acima do topo do cilindro vale
rR ;=;H - yH
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r ;=; Rl(1 - yHr)

Passo 3

O volume do cilindro é
V ;=;pi,r^2,y
Substituindo r em função de y vem
V(y) = pi,R^2,y l(1 - yHr)^2

Passo 4

Para encontrar o máximo, derivamos V(y). Escrevendo
f(y)=yl(1-yHr)^2,
temos
f'(y) =(1-tfracyH)^2 + ycdot 2l(1-tfracyHr)l(-tfrac1Hr) =(1-tfracyH)l(1-tfrac3yHr)
Portanto
V'(y)=pi R^2f'(y)=0 Longrightarrow (1-tfracyH)(1-tfrac3yH)=0

Passo 5

As soluções são y=H (volume zero) e y=H/3. Como V(0)=0 e V(H)=0, o ponto interior y=H/3 dá o volume máximo. Substituindo em r=R(1-y/H) obtemos
r=Rl(1-tfrac13r)=2R3

Resposta

Altura do cilindro: H3
Raio do cilindro: 2R3

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