Considere um cilindro circular reto, inscrito em um cone circular reto, de altura
e raio da base
. Determine a altura e o raio do cilindro de volume máximo.
Passo 1
Temos um cone circular reto de altura
e raio da base
. Inscreve-se nesse cone um cilindro circular reto de altura
(medida a partir da base do cone) e raio
. O problema é de otimização de volume usando geometria (semelhança de triângulos) e derivadas.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos entre o geratriz do cone e a geratriz do cone acima do topo do cilindro vale
Logo
Passo 3
O volume do cilindro é
Substituindo
em função de
vem
Passo 4
Para encontrar o máximo, derivamos
. Escrevendo
temos
Portanto
Passo 5
As soluções são
(volume zero) e
. Como
e
, o ponto interior
dá o volume máximo. Substituindo em
obtemos
Resposta
Altura do cilindro:
Raio do cilindro:
Raio do cilindro: