Sendo y^3+(cos x) y-8=0, determine o coeficiente angular da reta tangente a essa curva no ponto em que x=pi2.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
y^3 + (cos x),y - 8 = 0
e pede o coeficiente angular da reta tangente, ou seja, dydx no ponto em que x=pi2. Vamos usar derivação implícita e depois avaliar em x=pi2.

Passo 2

Para saber em que ponto da curva estamos, achamos y quando x=pi2. Substituindo na equação:
y^3 + cos!l(tfracpi2r),y - 8 = 0
como cos!l(tfracpi2r)=0, fica
y^3 - 8 = 0 Longrightarrow y^3 = 8 Longrightarrow y = 2

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Derivando cada termo:
ddxl(y^3r) + ddxl(cos xcdot yr) - ddx(8) = 0
Isso dá
3y^2,dydx + l(-sin xr),y + cos x,dydx - 0 = 0

Passo 4

Agrupando os termos com dydx:
l(3y^2 + cos xr),dydx - ysin x = 0 Longrightarrow dydx = ysin x3y^2 + cos x

Passo 5

Finalmente, substituímos x=pi2 e y=2:
dydxg|x=pi2 = 2cdotsin!l(tfracpi2r)3cdot2^2 + cos!l(tfracpi2r) = 2cdot 13cdot4 + 0 = 212 = 16

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é 16.

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