Exercício 11. (Apostol seção 2.8 exercício 27) Seja
o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Definimos
e
como
e
. Prove que
, mas
, em que
é a identidade. Ache o núcleo e a imagem de
.
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
de todos os polinômios reais e define dois operadores lineares
Pede-se para provar que
(a identidade em
), mostrar que
e, finalmente, determinar
e
. Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e noções básicas de operadores lineares.
Passo 2
Provar que
. Seja
. Então
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é exatamente
. Logo
o que mostra
.
Passo 3
Mostrar que
. Ainda para
,
novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Portanto
que só coincide com
se
. Por exemplo, para
constante,
. Assim,
não é a identidade em
.
Passo 4
Determinar
. Por definição,
Mas
. Pedir isso igual a zero para todo
implica
Logo
Passo 5
Determinar
. Sabemos que
À medida que
varia por todos os polinômios,
assume exatamente todos os polinômios cujo termo constante é zero. Portanto