Exercício 11. (Apostol seção 2.8 exercício 27) Seja P o espaço vetorial de todos os polinômios reais. Definimos D: P P e T: P P como D(p)(x)=d pd x(x) e T(p)(x)=integral0^x p(t) d t. Prove que D T=I, mas T D neq I, em que I é a identidade. Ache o núcleo e a imagem de T D.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial P de todos os polinômios reais e define dois operadores lineares
Dcolon PtoP, D(p)(x)=dpdx(x),
Tcolon PtoP, T(p)(x)=integral0^xp(t),dt
Pede-se para provar que Dcirc T=I (a identidade em P), mostrar que Tcirc Dneq I e, finalmente, determinar ker(TD) e Im(TD). Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e noções básicas de operadores lineares.

Passo 2

Provar que Dcirc T=I. Seja pinP. Então
(Dcirc T)(p)(x) = Dl(T(p)r)(x) = ddxl(integral0^xp(t),dtr)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de integral0^xp(t),dt é exatamente p(x). Logo
(Dcirc T)(p)(x)=p(x) forall x,
o que mostra Dcirc T=I.

Passo 3

Mostrar que Tcirc Dneq I. Ainda para pinP,
(Tcirc D)(p)(x) = Tl(D(p)r)(x) = integral0^xp'(t),dt = p(x)-p(0),
novamente pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Portanto
(Tcirc D)(p);=;p(x)-p(0),
que só coincide com p(x) se p(0)=0. Por exemplo, para p(x)=1 constante, (Tcirc D)(1)=0neq1. Assim, Tcirc D não é a identidade em P.

Passo 4

Determinar ker(TD). Por definição,
ker(TD)=,pinPmid (Tcirc D)(p)=0
Mas (Tcirc D)(p)(x)=p(x)-p(0). Pedir isso igual a zero para todo x implica
p(x)-p(0)=0forall x ;Longrightarrow; p(x)=p(0) constante
Logo
ker(TD)=polinômios constantes ô

Passo 5

Determinar Im(TD). Sabemos que
(Tcirc D)(p)(x)=p(x)-p(0)
À medida que p varia por todos os polinômios, p(x)-p(0) assume exatamente todos os polinômios cujo termo constante é zero. Portanto
Im(TD)=,qinPmid q(0)=0 =xcdot r(x)mid rinP

Resposta

boxedD,T=I, T,Dneq I;
ker(TD)=polinômios constantes, Im(TD)=,qinPmid q(0)=0ô

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