Considere o cilindro circular reto parametrizado
, onde
é uma constante positiva. Determine a Primeira Forma Fundamental desta superfície
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da superfície (um cilindro circular reto) por
, com
constante.
O que se pede: determinar os coeficientes da Primeira Forma Fundamental, isto é calcular , onde
O que se pede: determinar os coeficientes da Primeira Forma Fundamental, isto é calcular
Passo 2
Explicando rapidamente o que esses símbolos significam (sem assumir que já saiba):
-
e são as derivadas parciais de em relação a e . Elas são vetores tangentes à superfície que indicam a direção em que a superfície muda quando varia-se ou . -
é o produto escalar euclidiano padrão em . Para dois vetores e vale
- A Primeira Forma Fundamental dá a métrica induzida na superfície: serve para calcular comprimentos, ângulos e áreas infinitesimais.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais componente a componente. A parametrização é
.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora calculamos os produtos escalares que definem
.
Calcular
. Usando
,
Aplicando a identidade trigonométrica
,
Calcular
. Com
,
Calcular
. Como
,
Passo 5
Interpretando o resultado: a Primeira Forma Fundamental escrita em termos dos diferenciais
é
Isso mostra que pequenos deslocamentos na direção
têm comprimento
(componente circular) e na direção
têm comprimento
(direção axial), e que as direções
e
são ortogonais (
).