Considere o cilindro circular reto parametrizado \operatorname{por} \mathbf{x}(u, v)=(R \cos u, R \sin u, v), onde R é uma constante positiva. Determine a Primeira Forma Fundamental desta superfície E, F, G.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da superfície (um cilindro circular reto) por \mathbf{x}(u,v) = (R\cos u,\;R\sin u,\;v), com R>0 constante.
O que se pede: determinar os coeficientes da Primeira Forma Fundamental, isto é calcular E,\;F,\;G, onde
E=\langle \mathbf{x}_u,\mathbf{x}_u\rangle,\qquad F=\langle \mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v\rangle,\qquad G=\langle \mathbf{x}_v,\mathbf{x}_v\rangle.

Passo 2

Explicando rapidamente o que esses símbolos significam (sem assumir que já saiba):
  • \mathbf{x}_u e \mathbf{x}_v são as derivadas parciais de \mathbf{x} em relação a u e v. Elas são vetores tangentes à superfície que indicam a direção em que a superfície muda quando varia-se u ou v.
  • \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto escalar euclidiano padrão em \mathbb{R}^3. Para dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) vale
\langle (a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)\rangle = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • A Primeira Forma Fundamental dá a métrica induzida na superfície: serve para calcular comprimentos, ângulos e áreas infinitesimais.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais componente a componente. A parametrização é \mathbf{x}(u,v)=(R\cos u,\;R\sin u,\;v).
Derivando em relação a u:
\mathbf{x}_u = \left(\frac{\partial}{\partial u}(R\cos u),\;\frac{\partial}{\partial u}(R\sin u),\;\frac{\partial}{\partial u}v\right) = (-R\sin u,\;R\cos u,\;0).
Derivando em relação a v:
\mathbf{x}_v = \left(\frac{\partial}{\partial v}(R\cos u),\;\frac{\partial}{\partial v}(R\sin u),\;\frac{\partial}{\partial v}v\right) = (0,\;0,\;1).

Passo 4

Agora calculamos os produtos escalares que definem E,F,G.
Calcular E=\langle \mathbf{x}_u,\mathbf{x}_u\rangle. Usando \mathbf{x}_u = (-R\sin u,\;R\cos u,\;0),
E = (-R\sin u)^2 + (R\cos u)^2 + 0^2 = R^2\sin^2 u + R^2\cos^2 u.
Aplicando a identidade trigonométrica \sin^2 u + \cos^2 u = 1,
E = R^2.
Calcular F=\langle \mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v\rangle. Com \mathbf{x}_v=(0,0,1),
F = (-R\sin u)\cdot 0 + (R\cos u)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Calcular G=\langle \mathbf{x}_v,\mathbf{x}_v\rangle. Como \mathbf{x}_v=(0,0,1),
G = 0^2 + 0^2 + 1^2 = 1.

Passo 5

Interpretando o resultado: a Primeira Forma Fundamental escrita em termos dos diferenciais \mathrm{d}u,\mathrm{d}v é
I = E\,\mathrm{d}u^2 + 2F\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v + G\,\mathrm{d}v^2 = R^2\,\mathrm{d}u^2 + \mathrm{d}v^2.
Isso mostra que pequenos deslocamentos na direção u têm comprimento R\,\mathrm{d}u (componente circular) e na direção v têm comprimento \mathrm{d}v (direção axial), e que as direções u e v são ortogonais ( F=0).

Resposta

E=R^{2}
F=0
G=1

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