Encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - Não há condição inicial: pede-se a solução geral (com constante arbitrária).
- A equação está na forma
com e .
Passo 2
Decidindo o método (explicação didática): para equações lineares de primeira ordem na forma
o método padrão e direto é o fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o membro esquerdo vire a derivada do produto
. Isso simplifica a Equação a uma integral direta. Vou usar esse método porque é simples e apropriado para qualquer
(aqui
é a constante
).
Passo 3
Construção do fator integrante (explicação da fórmula): escolhe-se
tal que
A solução geral dessa equação é
No nosso caso
, então
Passo 4
Multiplica-se a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Simplifica o lado direito e integra ambos os lados (explicando a integral):
Integrando com respeito a
:
Pelo teorema fundamental do cálculo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isola-se
dividindo por
:
Aqui
é uma constante arbitrária real, que representa a família de soluções gerais.
Passo 7
Verificação rápida (ensinar a checar na prova): deriva-se a solução encontrada e substitui-se na equação original para confirmar.
Se então
Se
Calculando
:
Portanto satisfaz a equação original, está correta.
Passo 8
(Atalho útil para a prova) Outra forma rápida: encontre a solução homogênea
resolvendo
, que dá
. Procure uma particular usando coeficientes a determinar para a RHS
. Tentar
e substituir dá
, logo
. Soma:
. Esse é um caminho mais curto quando o termo do lado direito é exponencial.