Encontre a solução geral.
y^{\prime}+2 y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
y^{\prime}+2y=e^{-x}.
Informações relevantes:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A derivada é \,y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}\,.
  • Não há condição inicial: pede-se a solução geral (com constante arbitrária).
  • A equação está na forma \,y^{\prime}+P(x)y=Q(x)\, com P(x)=2 e Q(x)=e^{-x}.

Passo 2

Decidindo o método (explicação didática): para equações lineares de primeira ordem na forma
y^{\prime}+P(x)y=Q(x)
o método padrão e direto é o fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o membro esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y(x). Isso simplifica a Equação a uma integral direta. Vou usar esse método porque é simples e apropriado para qualquer P(x) (aqui P é a constante 2).

Passo 3

Construção do fator integrante (explicação da fórmula): escolhe-se \mu(x) tal que
\mu'(x)=P(x)\mu(x).
A solução geral dessa equação é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
No nosso caso P(x)=2, então
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.

Passo 4

Multiplica-se a equação original por \mu(x)=e^{2x}. Fazendo isso obtemos
e^{2x}y^{\prime}+2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x}.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{2x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=e^{2x}y^{\prime}+2e^{2x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=e^{2x}e^{-x}.

Passo 5

Simplifica o lado direito e integra ambos os lados (explicando a integral):
e^{2x}e^{-x}=e^{x}.
Integrando com respeito a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)\,dx = \int e^{x}\,dx.
Pelo teorema fundamental do cálculo:
e^{2x}y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isola-se y dividindo por e^{2x}:
y = \frac{e^{x}+C}{e^{2x}} = e^{x-2x} + C e^{-2x} = e^{-x} + C e^{-2x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real, que representa a família de soluções gerais.

Passo 7

Verificação rápida (ensinar a checar na prova): deriva-se a solução encontrada e substitui-se na equação original para confirmar.
Se y=e^{-x}+C e^{-2x} então
y^{\prime}=-e^{-x}-2C e^{-2x}.
Calculando y^{\prime}+2y:
y^{\prime}+2y = (-e^{-x}-2C e^{-2x}) + 2(e^{-x}+C e^{-2x}) = e^{-x}.
Portanto satisfaz a equação original, está correta.

Passo 8

(Atalho útil para a prova) Outra forma rápida: encontre a solução homogênea \,y_h resolvendo y^{\prime}+2y=0, que dá y_h=C e^{-2x}. Procure uma particular usando coeficientes a determinar para a RHS e^{-x}. Tentar y_p=A e^{-x} e substituir dá A=1, logo y_p=e^{-x}. Soma: y=y_h+y_p=e^{-x}+C e^{-2x}. Esse é um caminho mais curto quando o termo do lado direito é exponencial.

Resposta

y=e^{-x}+C e^{-2x}

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