Resolva o PVI.
y^{\prime}=x y^{2}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Especificamente, temos:
  • A equação diferencial: y^{\prime}=x\,y^{2}.
  • A condição inicial: y(0)=1.
O objetivo é encontrar uma função y(x) definida num intervalo contendo x=0 que satisfaça ambas as condições.

Passo 2

Vamos identificar um método adequado. A equação pode ser escrita envolvendo o produto de uma função de x e uma função de y; por isso ela é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Variáveis separáveis significa que dá para rearranjar a equação de modo que todos os termos com y fiquem de um lado e todos os termos com x do outro, permitindo integrar cada lado. Não vamos avançar nas contas ainda — só entender que a forma permite fazer:
\text{algo com }y\; dy = \text{algo com }x\; dx.

Passo 3

Separe as variáveis explicitamente. Começando de
y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=x\,y^{2},
coloca-se os termos com y em um lado e os com x no outro:
\frac{dy}{y^{2}}=x\,dx.
Aqui foi feito: dividir ambos os lados por y^{2} (assumindo y\neq0 no processo) e multiplicar por dx. Agora as duas variáveis estão separadas, prontas para integrar.

Passo 4

Integre os dois lados. Vamos usar a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso o integrando do lado esquerdo é y^{-2}. Aplicando a regra com n=-2 obtém-se
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.
No lado direito integra-se x:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto, integrando ambos os lados e somando uma constante C obtemos a relação implícita
-\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Determine a constante de integração usando a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 na expressão obtida:
-\frac{1}{1}=\frac{0^{2}}{2}+C \quad\Rightarrow\quad -1=C.
Logo C=-1.

Passo 6

Substitua C na relação implícita e resolva para y. Com C=-1 temos
-\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}-1.
Multiplicando por -1:
\frac{1}{y}=1-\frac{x^{2}}{2}.
Invertendo ambos os lados (desde que o denomindor não seja zero) obtemos a solução explícita
y=\frac{1}{\,1-\dfrac{x^{2}}{2}\,}.
Pode-se simplificar escrevendo também y=\dfrac{2}{2-x^{2}}, se preferir, mas ambas são equivalentes.

Passo 7

Verifique que a solução encontrada realmente satisfaz a equação diferencial (checagem rápida). Tome
y=(1-\tfrac{x^{2}}{2})^{-1}.
Derivando usando a regra da cadeia:
y^{\prime}=-1\cdot(1-\tfrac{x^{2}}{2})^{-2}\cdot\left(-\tfrac{2x}{2}\right) = x\,(1-\tfrac{x^{2}}{2})^{-2}.
Como y^{2}=(1-\tfrac{x^{2}}{2})^{-2}, temos y^{\prime}=x\,y^{2}, ou seja, a solução verifica a equação diferencial. Além disso, y(0)=1 por substituição direta.

Passo 8

Discuta o intervalo de validade (domínio) da solução. A expressão tem denominador 1-\dfrac{x^{2}}{2}, que se anula quando 1-\dfrac{x^{2}}{2}=0, ou seja quando x^{2}=2, isto é x=\pm\sqrt{2}. Nesses pontos a solução explode (tende a infinito) e não é definida. Como a condição inicial está em x=0, o maior intervalo aberto contendo 0 onde a solução é definida e única é (-\,\sqrt{2},\,\sqrt{2}). Em particular, para qualquer prova prática ao redor de 0 pode-se considerar o domínio |x|<\sqrt{2}.

Passo 9

Resumo didático rápido (para memorizar o método): sempre que a ODE puder ser escrita como g(y)\,dy = h(x)\,dx, separa-se e integra-se cada lado. Depois usa-se a condição inicial para encontrar a constante e, por fim, resolve-se para y e verifica-se o intervalo onde a expressão faz sentido. Um exemplo simples parecido é \dfrac{dy}{dx}=k\,y que separa em \dfrac{dy}{y}=k\,dx e leva à solução exponencial y=C e^{kx}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{1-\dfrac{x^{2}}{2}},\qquad \text{válida para }|x|<\sqrt{2}.á

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