Resolva o PVI.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Especificamente, temos:
- A equação diferencial:
- A condição inicial:
O objetivo é encontrar uma função
definida num intervalo contendo
que satisfaça ambas as condições.
Passo 2
Vamos identificar um método adequado. A equação pode ser escrita envolvendo o produto de uma função de
e uma função de
; por isso ela é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Variáveis separáveis significa que dá para rearranjar a equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
do outro, permitindo integrar cada lado. Não vamos avançar nas contas ainda — só entender que a forma permite fazer:
Passo 3
Separe as variáveis explicitamente. Começando de
coloca-se os termos com
em um lado e os com
no outro:
Aqui foi feito: dividir ambos os lados por
(assumindo
no processo) e multiplicar por
. Agora as duas variáveis estão separadas, prontas para integrar.
Passo 4
Integre os dois lados. Vamos usar a regra de potência para integrais: para
,
No nosso caso o integrando do lado esquerdo é
. Aplicando a regra com
obtém-se
No lado direito integra-se
:
Portanto, integrando ambos os lados e somando uma constante
obtemos a relação implícita
Passo 5
Determine a constante de integração usando a condição inicial
. Substituindo
e
na expressão obtida:
Logo
.
Passo 6
Substitua
na relação implícita e resolva para
. Com
temos
Multiplicando por
:
Invertendo ambos os lados (desde que o denomindor não seja zero) obtemos a solução explícita
Pode-se simplificar escrevendo também
, se preferir, mas ambas são equivalentes.
Passo 7
Verifique que a solução encontrada realmente satisfaz a equação diferencial (checagem rápida). Tome
Derivando usando a regra da cadeia:
Como
, temos
, ou seja, a solução verifica a equação diferencial. Além disso,
por substituição direta.
Passo 8
Discuta o intervalo de validade (domínio) da solução. A expressão tem denominador
, que se anula quando
, ou seja quando
, isto é
. Nesses pontos a solução explode (tende a infinito) e não é definida. Como a condição inicial está em
, o maior intervalo aberto contendo
onde a solução é definida e única é
. Em particular, para qualquer prova prática ao redor de
pode-se considerar o domínio
.
Passo 9
Resumo didático rápido (para memorizar o método): sempre que a ODE puder ser escrita como
, separa-se e integra-se cada lado. Depois usa-se a condição inicial para encontrar a constante e, por fim, resolve-se para
e verifica-se o intervalo onde a expressão faz sentido. Um exemplo simples parecido é
que separa em
e leva à solução exponencial
.