Dada a esfera de raio R parametrizada por \mathrm{X}(\theta, \varphi)=(\mathrm{R} \sin \varphi \cos \theta, \mathrm{R} \sin \varphi \sin \theta, \mathrm{R} \cos \varphi), onde 0<\varphi<\pi e 0<\theta<2 \pi. Calcule a Primeira Forma Fundamental e use-a para encontrar a área da esfera.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da esfera de raio R:
\mathrm{X}(\theta,\varphi)=\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\bigr),
com 0<\varphi<\pi e 0<\theta<2\pi. As perguntas são:
  • Calcular a Primeira Forma Fundamental (i.e. os coeficientes E,F,G e a expressão do elemento de comprimento \mathrm{d}s^2).
  • Usar essa Primeira Forma Fundamental para encontrar a área da esfera.
Informações relevantes fornecidas:
  • Parametrização explícita \mathrm{X}(\theta,\varphi).
  • Domínio natural dos parâmetros (intervalos de \theta e \varphi) para cobrir a esfera inteira.

Passo 2

Primeiro passo operacional: calcular as derivadas parciais \mathrm{X}_{\theta}=\partial\mathrm{X}/\partial\theta e \mathrm{X}_{\varphi}=\partial\mathrm{X}/\partial\varphi.
Derivando componente a componente:
\mathrm{X}_{\theta}(\theta,\varphi) = \frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\bigr) = \bigl(-R\sin\varphi\sin\theta,\;R\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr).
\mathrm{X}_{\varphi}(\theta,\varphi) = \frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(R\sin\varphi\cos\theta,\;R\sin\varphi\sin\theta,\;R\cos\varphi\bigr) = \bigl(R\cos\varphi\cos\theta,\;R\cos\varphi\sin\theta,\;-R\sin\varphi\bigr).
Explicação didática: cada componente é função simples de \theta e \varphi. Ao derivar em relação a \theta tratamos \varphi como constante; ao derivar em relação a \varphi tratamos \theta como constante.

Passo 3

Agora calculamos os coeficientes da Primeira Forma Fundamental:
E=\langle \mathrm{X}_{\theta},\mathrm{X}_{\theta}\rangle,\qquad F=\langle \mathrm{X}_{\theta},\mathrm{X}_{\varphi}\rangle,\qquad G=\langle \mathrm{X}_{\varphi},\mathrm{X}_{\varphi}\rangle,
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3. Vou calcular cada um passo a passo.
Cálculo de E:
E=\bigl(-R\sin\varphi\sin\theta\bigr)^2+\bigl(R\sin\varphi\cos\theta\bigr)^2+0^2 =R^2\sin^2\varphi\bigl(\sin^2\theta+\cos^2\theta\bigr) =R^2\sin^2\varphi.
Cálculo de F:
F=(-R\sin\varphi\sin\theta)(R\cos\varphi\cos\theta) +(R\sin\varphi\cos\theta)(R\cos\varphi\sin\theta)+0\cdot(-R\sin\varphi).
Os dois termos se cancelam porque um é negativo do outro, portanto
F=0.
Comentário: F=0 significa que as curvas de coordenadas \theta=constante e \varphi=constante são ortogonais (linhas de longitude e latitude).
Cálculo de G:
G=(R\cos\varphi\cos\theta)^2+(R\cos\varphi\sin\theta)^2+(-R\sin\varphi)^2 =R^2\bigl(\cos^2\varphi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\sin^2\varphi\bigr) =R^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) =R^2.

Passo 4

Escrevendo a Primeira Forma Fundamental (a métrica induzida) como forma quadrática:
\mathrm{d}s^2=E\,\mathrm{d}\theta^2+2F\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi+G\,\mathrm{d}\varphi^2.
Substituindo os coeficientes encontrados:
\mathrm{d}s^2=R^2\sin^2\varphi\,\mathrm{d}\theta^2+R^2\,\mathrm{d}\varphi^2.
Alternativamente, colocar fator comum:
\mathrm{d}s^2=R^2\bigl(\mathrm{d}\varphi^2+\sin^2\varphi\,\mathrm{d}\theta^2\bigr).
Explicação: \mathrm{d}s^2 dá o quadrado do comprimento de um deslocamento infinitesimal na superfície em termos das variações \mathrm{d}\theta,\mathrm{d}\varphi.

Passo 5

Elemento de área a partir da Primeira Forma Fundamental: para uma parametrização (u,v)\mapsto\mathrm{X}(u,v) o elemento de área é
\mathrm{d}A=\sqrt{EG-F^2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
No nosso caso (u,v)=(\theta,\varphi), assim
\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{\,R^2\sin^2\varphi\cdot R^2-0\,} =\sqrt{R^4\sin^2\varphi}=R^2\sin\varphi.
Portanto
\mathrm{d}A=R^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
Breve justificativa: geometricamente \mathrm{d}A=|\mathrm{X}_{\theta}\times\mathrm{X}_{\varphi}|\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi e vale a identidade |\mathrm{X}_{\theta}\times\mathrm{X}_{\varphi}|=\sqrt{EG-F^2}.

Passo 6

Agora integramos o elemento de área sobre o domínio dos parâmetros para obter a área total da esfera:
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} R^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.Á
Integrando primeiro em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
Então
\text{Área}=R^2\int_{0}^{2\pi}2\,\mathrm{d}\theta=2R^2\cdot\bigl[ \theta\bigr]_{0}^{2\pi}=2R^2\cdot 2\pi=4\pi R^2.Á
Comentário final encorajador: chegamos ao resultado clássico 4\pi R^2. Dá uma sensação boa ver como a forma fundamental conduz direto ao elemento de área e à integral.

Resposta

Primeira Forma Fundamental: \displaystyle \mathrm{d}s^2=R^2\sin^2\varphi\,\mathrm{d}\theta^2+R^2\,\mathrm{d}\varphi^2
Área da esfera: \displaystyle 4\pi R^2

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