Dada a esfera de raio R parametrizada por
, onde
e
. Calcule a Primeira Forma Fundamental e use-a para encontrar a área da esfera.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da esfera de raio
:
com
e
. As perguntas são:
- Calcular a Primeira Forma Fundamental (i.e. os coeficientes
e a expressão do elemento de comprimento ). - Usar essa Primeira Forma Fundamental para encontrar a área da esfera.
Informações relevantes fornecidas:
- Parametrização explícita
. - Domínio natural dos parâmetros (intervalos de
e ) para cobrir a esfera inteira.
Passo 2
Primeiro passo operacional: calcular as derivadas parciais
e
.
Derivando componente a componente:
Explicação didática: cada componente é função simples de
e
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Passo 3
Agora calculamos os coeficientes da Primeira Forma Fundamental:
onde
é o produto escalar usual em
. Vou calcular cada um passo a passo.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Os dois termos se cancelam porque um é negativo do outro, portanto
Comentário:
significa que as curvas de coordenadas
constante e
constante são ortogonais (linhas de longitude e latitude).
Cálculo de
:
Passo 4
Escrevendo a Primeira Forma Fundamental (a métrica induzida) como forma quadrática:
Substituindo os coeficientes encontrados:
Alternativamente, colocar fator comum:
Explicação:
dá o quadrado do comprimento de um deslocamento infinitesimal na superfície em termos das variações
.
Passo 5
Elemento de área a partir da Primeira Forma Fundamental: para uma parametrização
o elemento de área é
No nosso caso
, assim
Portanto
Breve justificativa: geometricamente
e vale a identidade
.
Passo 6
Agora integramos o elemento de área sobre o domínio dos parâmetros para obter a área total da esfera:
Integrando primeiro em
:
Então
Comentário final encorajador: chegamos ao resultado clássico
. Dá uma sensação boa ver como a forma fundamental conduz direto ao elemento de área e à integral.
Resposta
Primeira Forma Fundamental:
Área da esfera: