Considere um cilindro de comprimento L e raio A, oco, carregado com carga total Q. Você está interessado em saber qual é o campo elétrico E ao longo do eixo do cilindro, numa de suas extremidades. Para isso, utilize dois caminhos distintos: considerando que o cilindro é formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal, todas com comprimento L, dispostas num círculo de raio A.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um cilindro oco (casca cilíndrica) de comprimento e raio , com carga total uniformemente distribuída na superfície lateral. A gente quer o campo elétrico exatamente no eixo, bem na extremidade do cilindro.
Conteúdo: eletrostática e superposição de campos, usando dois jeitos de fatiar a superfície carregada. Vamos precisar lembrar o campo de um anel carregado no seu eixo e o campo de uma vareta (linha de carga) num ponto a uma distância lateral.

Passo 2

  1. A gente divide o cilindro em “fatias” fininhas no sentido do eixo, cada fatia é um anel de espessura dQ = Qárea lateral times (área da fatia) = Q2pi A,Ltimes (2pi A,dz) = QL,dz .
  2. Carga dessa fatia:
dEz = 14piepsilon0,z,dQl(z^2+A^2r)^3/2 áá
  1. Campo no ponto (eixo, na extremidade ) devido a um anel de raio e carga deslocado em é só a componente axial:

Passo 3

Agora a gente integra de E = integral0^L dEz = 14piepsilon0,QL integral0^L z,dz(z^2+A^2)^3/2 a integral z,dz(z^2+A^2)^3/2 = -1raizz^2+A^2 :
integral0^L z,dz(z^2+A^2)^3/2 = l[-tfrac1raizz^2+A^2r]0^L = 1A - 1raizL^2+A^2
Essa integral é padrão:
E = Q4piepsilon0,L,l(1A - 1raizL^2+A^2r)
Logo, de a :
Então

Passo 4

A ideia é fatiar a casca em “varetas” fininhas paralelas ao eixo, cada uma com comprimento dEz = 14piepsilon0, lambda,s,dsl(A^2+s^2r)^3/2 e densidade linear
E = Q4piepsilon0,L,l(1A - 1raizL^2+A^2r) .
Para uma vareta a distância lateral do ponto, o elemento em gera
Integramos de a , fica o mesmo integral do método 1, e depois integramos de a . Dá tudo igual e, claro, chega-se de novo em

Resposta

O campo elétrico na extremidade do cilindro, sobre o eixo, aponta para fora (no sentido do eixo) e tem módulo
boxed E ;=; Q4piepsilon0,L,l(1A - 1raizL^2+A^2r),
portanto
.

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