Considere um cilindro de comprimento
e raio
, oco, carregado com carga total
. Você está interessado em saber qual é o campo elétrico
ao longo do eixo do cilindro, numa de suas extremidades. Para isso, utilize dois caminhos distintos: considerando que o cilindro é formado por uma infinidade de barras de espessura infinitesimal, todas com comprimento
, dispostas num círculo de raio
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos um cilindro oco (casca cilíndrica) de comprimento
e raio
, com carga total
uniformemente distribuída na superfície lateral. A gente quer o campo elétrico
exatamente no eixo, bem na extremidade do cilindro.
Conteúdo: eletrostática e superposição de campos, usando dois jeitos de fatiar a superfície carregada. Vamos precisar lembrar o campo de um anel carregado no seu eixo e o campo de uma vareta (linha de carga) num ponto a uma distância lateral.
Conteúdo: eletrostática e superposição de campos, usando dois jeitos de fatiar a superfície carregada. Vamos precisar lembrar o campo de um anel carregado no seu eixo e o campo de uma vareta (linha de carga) num ponto a uma distância lateral.
Passo 2
- A gente divide o cilindro em “fatias” fininhas no sentido do eixo, cada fatia é um anel de espessura
. - Carga dessa fatia:
- Campo no ponto (eixo, na extremidade
) devido a um anel de raio e carga deslocado em é só a componente axial:
Passo 3
Agora a gente integra de
a
:
Essa integral é padrão:
Logo, de
a
:
Então
Passo 4
A ideia é fatiar a casca em “varetas” fininhas paralelas ao eixo, cada uma com comprimento
e densidade linear
.
Para uma vareta a distância lateral do ponto, o elemento
em
gera
Para uma vareta a distância
Integramos
de
a
, fica o mesmo integral do método 1, e depois integramos
de
a
. Dá tudo igual e, claro, chega-se de novo em
Resposta
O campo elétrico na extremidade do cilindro, sobre o eixo, aponta para fora (no sentido do eixo) e tem módulo
portanto
.