Considere um cilindro de comprimento L e raio A, oco, carregado com carga total Q. Você está interessado em saber qual é o campo elétrico E ao longo do eixo do cilindro, numa de suas extremidades. Para isso, utilize dois caminhos distintos: considerando que o cilindro é formado por uma infinidade de anéis de raio A cujos eixos estão alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento L.

Passo 1

Beleza, cara! A gente tem um “cano” cilindro oco de comprimento e raio , com carga total distribuída só na parede lateral. Queremos achar o campo elétrico bem na ponta do eixo. O assunto aqui é integração de distribuições contínuas de carga (superposição) e a gente vai usar duas maneiras:
  1. Quebrar o cilindro em vários anéis e somar o campo de cada um.
  2. Aplicar a lei de Coulomb direto, integrando sobre a superfície curva em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Método 1 – anéis alinhados
  1. Teoria: o campo no eixo de um anel com carga Eanel(x);=;14pivarepsilon0,q,xl(R^2+x^2r)^3/2, , raio dQ ;=;sigma,(2pi A,dz), sigma=Q2pi A,L ;Longrightarrow; dQ=QL,dz e ponto a distância dE(z) =14pivarepsilon0, dQ;zl(A^2+z^2r)^3/2 =14pivarepsilon0, QL,z,dz(A^2+z^2)^3/2 do plano do anel é
E =Q4pivarepsilon0,L, integral0^Lz,dz(A^2+z^2)^3/2 ;=;Q4pivarepsilon0,L l[-tfrac1raizA^2+z^2r]0^L =Q4pivarepsilon0,L l(1A-1raizA^2+L^2r)
  1. Cada “fatia” de cilindro de espessura é um anel de raio e tem carga
  1. Esse anel fica a de distância do ponto na ponta, então o campo que ele produz ali é
  1. Integramos de a :

Passo 3

Método 2 – integração direta com a lei de Coulomb
  1. Teoria: o elemento de campo de um pedaço de carga dvec E =14pivarepsilon0, dqr^2,hat r, é
dS = A,dtheta,dz, dq = sigma,dS = Q2pi A,L,A,dtheta,dz =Q2pi L,dtheta,dz
e a gente vai projetar só na direção do eixo (componente dEz =14pivarepsilon0, dqr^2,zr =14pivarepsilon0, Q2pi L, z,dtheta,dz(A^2+z^2)^3/2 ).
2. Em coordenadas cilíndricas, um pedacinho de área na parede lateral vale
A distância do ponto (na ponta) até esse é e o cosseno do ângulo entre e o eixo é .
3. Então a componente axial é
  1. Integramos de a (vem um fator ) e depois de a , caindo na mesma integral do método 1.

Resposta

boxed vec E =Q4pivarepsilon0,L l(1A-1raizA^2+L^2r),hat z

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