Considere um cilindro de comprimento
e raio
, oco, carregado com carga total
. Você está interessado em saber qual é o campo elétrico
ao longo do eixo do cilindro, numa de suas extremidades. Para isso, utilize dois caminhos distintos: considerando que o cilindro é formado por uma infinidade de anéis de raio
cujos eixos estão alinhados e juntos formam um cilindro de comprimento
.
Passo 1
Beleza, cara! A gente tem um “cano” cilindro oco de comprimento
e raio
, com carga total
distribuída só na parede lateral. Queremos achar o campo elétrico
bem na ponta do eixo. O assunto aqui é integração de distribuições contínuas de carga (superposição) e a gente vai usar duas maneiras:
- Quebrar o cilindro em vários anéis e somar o campo de cada um.
- Aplicar a lei de Coulomb direto, integrando sobre a superfície curva em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Método 1 – anéis alinhados
- Teoria: o campo no eixo de um anel com carga
, raio e ponto a distância do plano do anel é
- Cada “fatia” de cilindro de espessura
é um anel de raio e tem carga
- Esse anel fica a
de distância do ponto na ponta, então o campo que ele produz ali é
- Integramos
de a :
Passo 3
Método 2 – integração direta com a lei de Coulomb
- Teoria: o elemento de campo de um pedaço de carga
é
e a gente vai projetar só na direção do eixo (componente
).
2. Em coordenadas cilíndricas, um pedacinho de área na parede lateral vale
2. Em coordenadas cilíndricas, um pedacinho de área na parede lateral vale
A distância do ponto (na ponta) até esse
é
e o cosseno do ângulo entre
e o eixo é
.
3. Então a componente axial é
3. Então a componente axial é
- Integramos
de a (vem um fator ) e depois de a , caindo na mesma integral do método 1.