Uma esfera isolante, maciça, possui densidade de carga rho(r)=rho0 r^2, onde rho0 é uma constante. Qual a diferença de potencial entre os pontos b e c?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que precisamos fazer.
Temos uma esfera isolante e maciça de raio rho(r)=rho0,r^2, , cuja densidade volumétrica de carga varia com o raio como
onde é constante. Queremos a diferença de potencial entre dois pontos e , um fora ( ) e outro dentro ( ) da esfera.
Conteúdo: eletrostática clássica – Lei de Gauss para achar e depois por integração (potencial).
O que vamos usar:
  1. Gauss para campo elétrico simétrico.
  2. Relação .

Passo 2

Vamos achar a carga total contida em um raio genérico Q(r)=integral0^rrho(r'),4pi r'^2,dr' =integral0^rrho0,r'^2,4pi r'^2,dr' =4pirho0integral0^rr'^4dr' =4pirho05,r^5 .
Usando definição da densidade,

Passo 3

Com E(r),4pi r^2=Q(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0Q(r)r^2 =14pivarepsilon04pirho05r^5r^2 =rho05varepsilon0,r^3 em mãos, aplicamos a Lei de Gauss para achar o campo:
  • Se Qrm total=Q(R)=4pirho05R^5 ;Longrightarrow; E(r)=14pivarepsilon0Qrm totalr^2 =rho0R^55varepsilon0;1r^2 (dentro):
  • Se (fora):

Passo 4

Agora vamos ao potencial. Tomamos V(r)=-integralinfty^rE(r'),dr' =-integralinfty^rrho0R^55varepsilon01r'^2dr' =rho0R^55varepsilon0;1r .
  1. Para V(r)-V(R)=-integralR^rE(r'),dr' =-integralR^rrho05varepsilon0,r'^3dr' =-rho05varepsilon0l[tfracr'^44r]R^r =rho020varepsilon0l(5R^4-r^4r) :
V(r)=rho020varepsilon0l(5R^4-r^4r), r<= R
  1. Para : primeiro achamos usando a expressão externa,
    .
    Depois integramos de até :
Logo,

Passo 5

Finalmente, queremos V(b)=rho0R^55varepsilon0,b =4,rho0R^520varepsilon0,b, V(c)=rho020varepsilon0l(5R^4-c^4r) com V(b)-V(c) =rho020varepsilon0l(,4R^5b;-;(5R^4-c^4)r) e .
Então

Resposta

boxed,V(b)-V(c) =rho020,varepsilon0, l(4,R^5b;-;5R^4+c^4r),

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