Existe um campo elétrico uniforme no espaço entre duas placas de cargas opostas. Um elétron parte do repouso na superfície da placa carregada negativamente e incide sobre a superfície da placa oposta, a 2,0 \mathrm{~m} de distância, após 1,5 \times 10^{-8} \mathrm{~s}. (a) Qual a velocidade do elétron quando ele incide sobre a segunda placa? (b) Qual o módulo do campo elétrico \vec{E} ? Resposta: (a) v=2,66 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (b) E=101077 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Distância entre as placas: \,s=2,0\\ \mathrm{m}.
    • Tempo de viagem do elétron: \,t=1,5\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
    • O elétron parte do repouso na placa negativa: velocidade inicial \,v_0=0.
  • O que se pede:
    • (a) A velocidade do elétron quando incide sobre a segunda placa (velocidade final \,v).
    • (b) O módulo do campo elétrico \,\vec{E} entre as placas.

Passo 2

Vamos modelar o movimento como um movimento uniformemente acelerado (aceleração constante) porque o campo elétrico uniforme produz uma força constante sobre o elétron, logo uma aceleração constante. As fórmulas relevantes são:
  • A equação do deslocamento para aceleração constante:
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde:
  • \,s é o deslocamento (m),
  • \,v_0 é a velocidade inicial (m/s),
  • \,a é a aceleração (m/s^2),
  • \,t é o intervalo de tempo (s).
  • A equação da velocidade final:
v = v_0 + a t.
Aqui \,v_0=0, portanto simplificamos as fórmulas. Vou explicar por que essas fórmulas valem: para aceleração constante, a velocidade varia linearmente com o tempo ( v=v_0+at) e a posição varia como a área sob o gráfico velocidade versus tempo, que dá s=v_0t+\tfrac12at^2. Essas relações são padrão de cinemática.

Passo 3

Isolando a aceleração a partir de s=\tfrac{1}{2}at^2 (já que v_0=0):
a=\frac{2s}{t^2}.
Substituindo os valores fornecidos (todos os números em notação do enunciado):
a=\frac{2\cdot 2,0}{\left(1,5\times10^{-8}\right)^2}.
Calculemos passo a passo:
t^2=\left(1,5\times10^{-8}\right)^2=2,25\times10^{-16}.
2s=2\cdot2,0=4,0.
a=\frac{4,0}{2,25\times10^{-16}}=\frac{4,0}{2,25}\times10^{16}=1,777\ldots\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^2}.
Arredondando convenientemente:
a\approx1,78\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Agora encontramos a velocidade final usando v = a t (porque v_0=0):
v = a t = \left(\frac{2s}{t^2}\right)t=\frac{2s}{t}.
Substituindo os números:
v=\frac{2\cdot2,0}{1,5\times10^{-8}}=\frac{4,0}{1,5}\times10^{8}=2,666\ldots\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para os algarismos significativos pedidos:
v\approx2,66\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida (útil na prova): esse valor é grande, uma fração significativa da velocidade da luz \,c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Técnicas relativísticas seriam mais precisas para tantos dígitos, mas aqui o exercício usa a cinemática clássica, então seguimos com ela.

Passo 5

Para achar o campo elétrico, usamos a relação entre força elétrica e aceleração. A força elétrica sobre um elétron de carga -e num campo \vec{E} tem módulo F=eE. Pela segunda lei de Newton:
F = m a,
onde:
  • \,m é a massa do elétron,
  • \,a é a aceleração que calculamos.
Igualando m a = e E e isolando E:
E=\frac{m a}{e}.
Aqui vamos usar os valores conhecidos das constantes:
  • massa do elétron: \,m=9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} (valor típico usado em provas),
  • carga elementar: \,e=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos (usando \,a\approx1,777\ldots\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^2}):
E=\frac{9,11\times10^{-31}\cdot 1,777\ldots\times10^{16}}{1,602\times10^{-19}}.
Vamos fazer as contas em duas etapas:
9,11\times10^{-31}\cdot 1,777\ldots\times10^{16}\approx1,6199\times10^{-14}.
E\approx\frac{1,6199\times10^{-14}}{1,602\times10^{-19}}=\frac{1,6199}{1,602}\times10^{5}\approx1,0111\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Escrevendo sem notação científica (como no enunciado fornecido):
E\approx101077\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

(a) \,v=2,66\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
(b) \,E=101077\\ \mathrm{N/C}

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