Uma haste fina, não-condutora, é encurvada de modo a formar um arco de circunferência de raio
, subtendendo um ângulo central
. Distribui-se uniformemente, em toda a sua extensão, uma carga total
. Determinar a intensidade do campo elétrico, no centro da circunferência, em função de
,
e
. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Tem-se uma haste fina, não condutora, moldada em arco de circunferência de raio
. - O arco subtende um ângulo central
. - A carga total distribuída uniformemente ao longo do arco é
. - O ponto onde se quer o campo elétrico é o centro da circunferência (o centro do arco).
O que se pede:
- Determinar a intensidade do campo elétrico no centro da circunferência, em função de
, e .
Passo 2
Escolhendo um sistema de coordenadas e definindo quantidades úteis (sempre bom organizar para não se perder).
- Coloca-se o centro da circunferência na origem
. - Orienta-se o arco de modo que seu ponto médio tenha ângulo
, isto é, o arco vai de até (a variável angular é o ângulo polar medido a partir do eixo horizontal). - Como a carga é uniformemente distribuída ao longo do arco, define-se a densidade linear de carga
Explicação didática: a densidade linear
é a carga por comprimento; o comprimento do arco de ângulo
é
, logo
.
Passo 3
Escolher um elemento de carga infinitesimal e escrever sua carga.
- Considere um elemento de arco de ângulo infinitesimal
localizado no ângulo . - O comprimento desse elemento é
. - A carga no elemento é
Comentário prático: trabalhar com elementos
e integrar é o jeito padrão para distribuir a contribuição de cada pedacinho até somar tudo (princípio da superposição).
Passo 4
Aplicar a lei de Coulomb para o campo devido ao elemento
.
- A lei de Coulomb para o campo elétrico criado por uma carga pontual
a uma distância é
onde
é a constante eletrostática (no SI
),
é a distância do elemento até o ponto onde se calcula o campo, e
é o versor que aponta da carga para o ponto onde se mede o campo.
- No nosso caso, cada elemento do arco está a distância
do centro, logo o módulo da contribuição é
- Direção: para uma carga positiva, o campo no ponto O devido ao elemento é dirigido do elemento para fora — como o elemento está fora do centro, o vetor campo no centro aponta radialmente para dentro ao longo da linha que une o elemento ao centro. Em termos de versor radial
que aponta do centro para a carga (ou seja ), o vetor campo devido ao elemento é
Explicação: o menos aparece porque
aponta do centro para a carga, mas o campo devido a uma carga positiva no centro aponta do ponto carga para o centro (direção oposta).
Passo 5
Decompor
em componentes e usar a simetria para eliminar componentes que se cancelam.
- Escrevendo
, tem-se
- Portanto as componentes são
- Agora integramos sobre todo o arco
. Pela simetria do arco em torno do eixo : - A componente
é função ímpar de ( ) integrada simetricamente em torno de zero, logo se anula:
- A componente
é par ( ) e portanto soma construtivamente.
- A componente
Passo 6
Calcular explicitamente
integrando.
- Substitui-se
em :
- Integrando de
até :
- Avaliando a integral:
- Logo
- O sinal negativo indica que o campo aponta no sentido negativo de
(ou seja, para o interior do arco, ao longo do eixo de simetria, dirigido para o centro). A intensidade (módulo) do campo é
Passo 7
Substituir
em função de
e
e escrever a resposta final.
- Lembrando que
, substitui-se:
- Portanto a intensidade do campo no centro vale exatamente essa expressão. Direção: ao longo do eixo de simetria do arco, apontando para o interior do arco (ou seja, em direção ao centro) se
.
Passo 8
Verificações rápidas (sanidade): limites que dão intuição.
- Se
(arco muito pequeno), usar dá
que é a expressão do campo devido a uma carga
localizada a distância
— faz sentido se o arco vira um pequeno pedaço concentrado.
- Se
(circunferência completa), e — a contribuição se anula por simetria, também faz sentido.