Considere um cilindro de pistão contendo 3,0 \mathrm{~L} de um gás ideal a 40^{\circ} \mathrm{C} e 9 bar. o gás se expande reversivelmente até 6 bar.
a) Supondo que o processo ocorra isotermicamente, qual é a variação da energia interna do sistema? Quanto trabalho é realizado? Quanto calor é transferido?
b) Se o processo ocorrer adiabaticamente, a temperatura final será maior ou menor que 30^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de pistão contendo V_1=3{,}0\rm\,L de um gás ideal a T_1=40^\circ\!C e P_1=9\rm\,bar, que se expande reversivelmente até P_2=6\rm\,bar. Vamos tratar dois casos:
  1. processo isotérmico reversível, em que usamos
PV=nRT,\quad \Delta U=0,\quad W_{\rm rev}=nRT\ln\frac{V_2}{V_1}
e Q=\Delta U+W.
2) processo adiabático reversível, em que
T_2=T_1\Bigl(\tfrac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}
com \gamma=1{,}4 (gás diatômico).

Passo 2

Calculamos o número de mols pelo estado inicial:
n=\frac{P_1V_1}{R\,T_1} =\frac{9\times10^5\rm\,Pa\;\times\;3{,}0\times10^{-3}\rm\,m^3}{8{,}314\rm\,J/(mol\,K)\;\times\;(313{,}15\rm\,K)} \approx1{,}04\rm\\ mol.

Passo 3

No processo isotérmico \Delta U=0. O trabalho reversível realizado pelo gás é
W_{\rm rev} =nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1} =nRT_1\ln\frac{P_1}{P_2} =(1{,}04)(8{,}314)(313{,}15)\ln\frac{9}{6} \approx1{,}09\times10^3\rm\,J.
Como \Delta U=Q-W, segue que Q=W\approx1{,}09\times10^3\rm\,J.

Passo 4

No processo adiabático reversível valem as relações
T_2=T_1\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}, \quad \gamma=1{,}4, \quad \frac{P_2}{P_1}=\frac{6}{9}=\tfrac{2}{3}.
Logo
T_2 =313{,}15\;\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{0{,}4/1{,}4} \approx279{,}0\rm\,K \approx6^\circ\!C,
que é menor que 30^\circ\!C.

Resposta

a) \Delta U=0, W\approx1{,}09\times10^3\rm\,J realizado pelo gás, Q\approx1{,}09\times10^3\rm\,J absorvido.
b) A temperatura final no processo adiabático será menor que 30^\circ\!C.

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