Considere o cilindro x^{2}+y^{2}=4 entre z=0 e z=3. Parametrize sua superfície lateral e calcule a área dessa porção.

Passo 1

O enunciado dá a superfície lateral do cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; entre os planos \;z=0\; e \;z=3\;.
Perguntas que precisamos responder: parametrizar essa superfície lateral e calcular a área da porção indicada.
Informações relevantes do enunciado:
  • Raio do cilindro: \;r=2\; (pois \;x^{2}+y^{2}=4=2^{2}\;).
  • Altura/intervalo em z: \;0\le z\le 3\;.
  • A superfície pedida é apenas a parte lateral (não as bases em z=0 e z=3).

Passo 2

Escolhemos parâmetros convenientes: o ângulo \;\theta\; em torno do eixo z e a coordenada vertical \;z\;. Parametrização natural do cilindro de raio 2:
\mathbf{r}(\theta,z)=\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\bigr),
com \;0\le \theta\le 2\pi\; e \;0\le z\le 3\;.
Explicando por que: \theta percorre a circunferência de raio 2 no plano xy (é a coordenada angular), e z é a coordenada vertical que percorre a altura do cilindro. Esta parametrização cobre toda a superfície lateral uma vez (exceto que \theta=0 e \theta=2\pi representam a mesma curva).

Passo 3

Para calcular a área de uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) usamos os vetores parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v. Aqui as variáveis são u=\theta e v=z. Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(2\cos\theta,2\sin\theta,z\bigr)=\bigl(-2\sin\theta,\;2\cos\theta,\;0\bigr),
\mathbf{r}_z(\theta,z)=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2\cos\theta,2\sin\theta,z\bigr)=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).
Expliquei cada componente: derivada em \theta atua apenas nas funções trigonométricas; derivada em z só afeta a terceira componente.

Passo 4

Área infinitesimal da superfície é dada pelo módulo do produto vetorial \bigl|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr|. Vamos calcular o produto vetorial:
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -2\sin\theta & 2\cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;0\bigr).
Agora o módulo:
\bigl|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr|=\sqrt{(2\cos\theta)^{2}+(2\sin\theta)^{2}+0^{2}} =\sqrt{4(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}=2.
Observação didática: o módulo do produto vetorial |\mathbf{a}\times\mathbf{b}| é a área do paralelogramo gerado pelos vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}; aqui deu constante 2 porque a largura (raio) é fixa.]

Passo 5

A fórmula para a área da superfície parametrizada é
\text{Área}=\iint_{D}\bigl|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr|\,d\theta\,dz,Á
onde D é o retângulo de parâmetros \{(\theta,z)\mid 0\le\theta\le2\pi,\;0\le z\le3\}. Substituindo \bigl|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr|=2,
\text{Área}=\int_{z=0}^{3}\int_{\theta=0}^{2\pi} 2\;d\theta\,dz.Á

Passo 6

Calculemos a integral passo a passo:
\int_{\theta=0}^{2\pi}2\;d\theta = 2\cdot(2\pi)=4\pi.
Agora integrar em z:
\int_{z=0}^{3}4\pi\;dz =4\pi\cdot 3=12\pi.
Portanto a área da superfície lateral do cilindro é \;12\pi\;.

Passo 7

Verificação rápida (fórmula clássica): a área lateral de um cilindro é circunferência da base vezes altura, ou seja \;2\pi r\cdot h. Aqui \;r=2\; e \;h=3\;, logo \;2\pi\cdot 2\cdot 3=12\pi\;, confirma o resultado. Você mandou bem em acompanhar — parametrização + produto vetorial é a forma generalizável, e dá o mesmo número fácil de lembrar.

Resposta

12\pi

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