Considere o cilindro x^{2}+y^{2}=4 entre z=0 e z=3. Parametrize sua superfície lateral e calcule a área dessa porção.
Passo 1
O enunciado dá a superfície lateral do cilindro \;x^{2}+y^{2}=4\; entre os planos \;z=0\; e \;z=3\;.
Perguntas que precisamos responder: parametrizar essa superfície lateral e calcular a área da porção indicada.
Informações relevantes do enunciado:
Raio do cilindro: \;r=2\; (pois \;x^{2}+y^{2}=4=2^{2}\;).
Altura/intervalo em z: \;0\le z\le 3\;.
A superfície pedida é apenas a parte lateral (não as bases em z=0 e z=3).
Passo 2
Escolhemos parâmetros convenientes: o ângulo \;\theta\; em torno do eixo z e a coordenada vertical \;z\;. Parametrização natural do cilindro de raio 2:
com \;0\le \theta\le 2\pi\; e \;0\le z\le 3\;.
Explicando por que: \theta percorre a circunferência de raio 2 no plano xy (é a coordenada angular), e z é a coordenada vertical que percorre a altura do cilindro. Esta parametrização cobre toda a superfície lateral uma vez (exceto que \theta=0 e \theta=2\pi representam a mesma curva).
Passo 3
Para calcular a área de uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) usamos os vetores parciais \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v. Aqui as variáveis são u=\theta e v=z. Calculamos as derivadas parciais:
Expliquei cada componente: derivada em \theta atua apenas nas funções trigonométricas; derivada em z só afeta a terceira componente.
Passo 4
Área infinitesimal da superfície é dada pelo módulo do produto vetorial \bigl|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\bigr|. Vamos calcular o produto vetorial:
Observação didática: o módulo do produto vetorial |\mathbf{a}\times\mathbf{b}| é a área do paralelogramo gerado pelos vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}; aqui deu constante 2 porque a largura (raio) é fixa.]
Passo 5
A fórmula para a área da superfície parametrizada é
Portanto a área da superfície lateral do cilindro é \;12\pi\;.
Passo 7
Verificação rápida (fórmula clássica): a área lateral de um cilindro é circunferência da base vezes altura, ou seja \;2\pi r\cdot h. Aqui \;r=2\; e \;h=3\;, logo \;2\pi\cdot 2\cdot 3=12\pi\;, confirma o resultado. Você mandou bem em acompanhar — parametrização + produto vetorial é a forma generalizável, e dá o mesmo número fácil de lembrar.