Verifique se o Teorema de Green pode ser aplicado diretamente para calcular
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o Teorema de Green pode ser aplicado diretamente para calcular a integral de linha
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
e a integração é feita ao longo de uma curva fechada
. O enunciado não diz explicitamente onde está
(se ela envolve a origem ou não) nem sua orientação; devemos portanto analisar as hipóteses do Teorema de Green e ver quando ele é aplicável.
Passo 2
O que diz o Teorema de Green (forma usada aqui)? Seja
uma região do plano com fronteira simples fechada e orientada positivamente por
. Se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança aberta que contenha
e
, então
Explicando cada peça:
e
são as componentes do campo; as derivadas parciais
e
precisam existir e ser contínuas em toda a região fechada pela curva (mais uma vizinhança aberta). Esse requisito de continuidade é crucial — se houver singularidade (p.ex. divisão por zero) dentro de
, o teorema não pode ser aplicado diretamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. Reescrevo
para facilitar.
Calcule
com
. Usando a regra do quociente:
Substituindo
obtemos
Agora
com
. Novamente a regra do quociente:
Substituindo
dá
Passo 4
Agora calculamos a diferença que aparece no Teorema de Green:
para todo ponto
tal que
(ou seja, para todo ponto diferente da origem). Isso mostra que o rotacional (o integrando da integral dupla) é zero em toda a região onde
e
estão definidos.
Passo 5
Verificação das hipóteses de continuidade:
e
têm denominador
. Logo
e
(e as derivadas que calculamos) não estão definidas na origem
e não são contínuas em qualquer vizinhança que contenha a origem. Portanto:
- Se a região
limitada por NÃO contém a origem, então existe uma vizinhança aberta contendo onde e suas derivadas são contínuas. Nesse caso o Teorema de Green é aplicável e, como o integrando da integral dupla é zero, a integral de linha vale . - Se a região
limitada por CONTÉM a origem, então as hipóteses do Teorema de Green não são satisfeitas (há uma singularidade no interior) e não se pode aplicar o teorema diretamente.
Passo 6
Para entender por que essa singularidade importa, veja um exemplo concreto: seja
o círculo unitário orientado positivamente, parâmetrizado por
,
,
. Então
e a integral fica
Portanto, quando
envolve a origem uma vez positivamente, a integral vale
e não zero — exatamente a situação onde o Teorema de Green NÃO seria aplicável diretamente porque a hipótese de continuidade falha na origem. Mais geralmente, o valor é
vezes o índice de enrolamento (winding number) de
em relação à origem.
Passo 7
Resumo didático e orientações para a prova (como usar essa ideia em exame):
- Identifique
e e calcule e . Se a diferença for 0, ótimo — mas lembre-se de checar onde essas funções e derivadas são contínuas. - Verifique se a região interna à curva contém pontos onde
não são definidas. Se sim, você não pode aplicar Green diretamente. - Se houver singularidade interior, você pode: (a) deformar a região retirando uma pequena vizinhança da singularidade e aplicar Green na região com “buraco” e depois usar limites; ou (b) parametrizar a curva (ou curvas) que cercam a singularidade para calcular a contribuição (como no exemplo do círculo).
- Intuitivamente: campo com rotacional zero em uma região simplesmente conexa implica integral fechada zero; mas se a região não for simplesmente conexa (tem um buraco com singularidade), o campo pode ser um “campo irrotacional porém não conservativo” no sentido global, e a integral pode ser não nula.
Resposta
Não, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente se a curva
tem a origem
no interior, porque
e
(e suas derivadas) não são contínuas lá.
Se não envolve a origem, então o Teorema de Green pode ser aplicado e a integral vale
.
Se envolve a origem uma vez positivamente, a integral vale
.
Se
Se