Verifique se o Teorema de Green pode ser aplicado diretamente para calcular
\oint_{C}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o Teorema de Green pode ser aplicado diretamente para calcular a integral de linha
\oint_{C}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,d y\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},
e a integração é feita ao longo de uma curva fechada C. O enunciado não diz explicitamente onde está C (se ela envolve a origem ou não) nem sua orientação; devemos portanto analisar as hipóteses do Teorema de Green e ver quando ele é aplicável.

Passo 2

O que diz o Teorema de Green (forma usada aqui)? Seja D uma região do plano com fronteira simples fechada e orientada positivamente por C=\partial D. Se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança aberta que contenha D e C, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando cada peça: P e Q são as componentes do campo; as derivadas parciais \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y} precisam existir e ser contínuas em toda a região fechada pela curva (mais uma vizinhança aberta). Esse requisito de continuidade é crucial — se houver singularidade (p.ex. divisão por zero) dentro de D, o teorema não pode ser aplicado diretamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de P e Q. Reescrevo r^{2}=x^{2}+y^{2} para facilitar.
Calcule \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} com Q(x,y)=\dfrac{x}{r^{2}}. Usando a regra do quociente:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1\cdot r^{2} - x\cdot 2x}{(r^{2})^{2}} = \frac{r^{2}-2x^{2}}{(r^{2})^{2}}.
Substituindo r^{2}=x^{2}+y^{2} obtemos
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} com P(x,y)=-\dfrac{y}{r^{2}}. Novamente a regra do quociente:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-1\cdot r^{2} - (-y)\cdot 2y}{(r^{2})^{2}} = \frac{-r^{2}+2y^{2}}{(r^{2})^{2}}.
Substituindo r^{2}
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos a diferença que aparece no Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} - \frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = 0,
para todo ponto (x,y) tal que x^{2}+y^{2}\neq 0 (ou seja, para todo ponto diferente da origem). Isso mostra que o rotacional (o integrando da integral dupla) é zero em toda a região onde P e Q estão definidos.

Passo 5

Verificação das hipóteses de continuidade: P e Q têm denominador x^{2}+y^{2}. Logo P e Q (e as derivadas que calculamos) não estão definidas na origem (0,0) e não são contínuas em qualquer vizinhança que contenha a origem. Portanto:
  • Se a região D limitada por C NÃO contém a origem, então existe uma vizinhança aberta contendo D onde P,Q e suas derivadas são contínuas. Nesse caso o Teorema de Green é aplicável e, como o integrando da integral dupla é zero, a integral de linha vale 0.
  • Se a região D limitada por C CONTÉM a origem, então as hipóteses do Teorema de Green não são satisfeitas (há uma singularidade no interior) e não se pode aplicar o teorema diretamente.

Passo 6

Para entender por que essa singularidade importa, veja um exemplo concreto: seja C o círculo unitário orientado positivamente, parâmetrizado por x=\cos t, y=\sin t, t\in[0,2\pi]. Então
P=-\sin t,\quad Q=\cos t,\quad dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt,
e a integral fica
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{0}^{2\pi}\big((- \sin t)(- \sin t)+(\cos t)(\cos t)\big)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi.
Portanto, quando C envolve a origem uma vez positivamente, a integral vale 2\pi e não zero — exatamente a situação onde o Teorema de Green NÃO seria aplicável diretamente porque a hipótese de continuidade falha na origem. Mais geralmente, o valor é 2\pi vezes o índice de enrolamento (winding number) de C em relação à origem.

Passo 7

Resumo didático e orientações para a prova (como usar essa ideia em exame):
  • Identifique P e Q e calcule \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y}. Se a diferença for 0, ótimo — mas lembre-se de checar onde essas funções e derivadas são contínuas.
  • Verifique se a região interna à curva contém pontos onde P,Q não são definidas. Se sim, você não pode aplicar Green diretamente.
  • Se houver singularidade interior, você pode: (a) deformar a região retirando uma pequena vizinhança da singularidade e aplicar Green na região com “buraco” e depois usar limites; ou (b) parametrizar a curva (ou curvas) que cercam a singularidade para calcular a contribuição (como no exemplo do círculo).
  • Intuitivamente: campo com rotacional zero em uma região simplesmente conexa implica integral fechada zero; mas se a região não for simplesmente conexa (tem um buraco com singularidade), o campo pode ser um “campo irrotacional porém não conservativo” no sentido global, e a integral pode ser não nula.

Resposta

Não, o Teorema de Green não pode ser aplicado diretamente se a curva C tem a origem (0,0) no interior, porque P e Q (e suas derivadas) não são contínuas lá.
Se C não envolve a origem, então o Teorema de Green pode ser aplicado e a integral vale 0.
Se C envolve a origem uma vez positivamente, a integral vale 2\pi.

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