Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão
, uma resistência
, uma bobine com indutância
e um condensador com capacitância
, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador
é tal que
sendo a intensidade de correte
, cada instante de
, dada por
.
Supondo que
(Volt),
(Ohm),
(Henry) e
(Farad), sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente e a carga do condensador eram ambas nulas:
(a) determinar a carga do condensador em cada instante
;
Supondo que
(a) determinar a carga do condensador em cada instante
Passo 1
O enunciado pede para achar a carga instantânea do condensador em um circuito RLC série cuja equação diferencial é dada por
com
,
,
,
e condições iniciais
,
. Vamos resolver o problema usando equação homogênea e coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada, que é
A equação característica é
cuja raiz é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Propomos
Calculando derivadas e substituindo em
obtemos o sistema
Dessa forma
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Agora impomos as condições iniciais. De
vem
De
, após calcular
, obtemos
Passo 5
Substituindo
e
achados, chegamos à solução final para a carga do condensador: