Considere-se um circuito elétrico constituído por uma força eletromotriz que produz uma queda de tensão E(t), uma resistência R, uma bobine com indutância L e um condensador com capacitância C, ligados em série (circuito RLC). Nessas condições a carga instantânea no condensador q(t) é tal que
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=E(t)
sendo a intensidade de correte i, cada instante de t, dada por i(t)=d qd t.
Supondo que E(t)=cos (2 t) (Volt), R=4 (Ohm), L=1 (Henry) e C=0,2 (Farad), sabendo que no instante inicial a intensidade de corrente e a carga do condensador eram ambas nulas:
(a) determinar a carga do condensador em cada instante t;

Passo 1

O enunciado pede para achar a carga instantânea do condensador em um circuito RLC série cuja equação diferencial é dada por
Ld^2qdt^2 + Rdqdt + 1C q = E(t),
com E(t)=cos(2t), R=4, L=1, C=0,2 e condições iniciais q(0)=0, q'(0)=0. Vamos resolver o problema usando equação homogênea e coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada, que é
q'' + 4q' + 5q = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 5 = 0,
cuja raiz é
r = -2 pm i
Logo a solução geral homogênea é
qh(t) = e^-2tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Propomos
qp(t) = alphacos(2t) + betasin(2t)
Calculando derivadas e substituindo em
q'' + 4q' + 5q = cos(2t)
obtemos o sistema
alpha + 8beta = 1, -8alpha + beta = 0
Dessa forma
alpha = 165, beta = 865

Passo 4

A solução geral da equação completa é
q(t) = e^-2tl(Acos t + Bsin tr) + 165l(cos(2t) + 8sin(2t)r)
Agora impomos as condições iniciais. De q(0)=0 vem
A + 165 = 0 implies A = -165
De q'(0)=0, após calcular q'(t), obtemos
B = -1865

Passo 5

Substituindo A e B achados, chegamos à solução final para a carga do condensador:

Passo 6

q(t) = 165l(cos(2t) + 8sin(2t) - e^-2tl(cos t + 18sin tr)r)

Resposta

q(t) = 165l(cos(2t) + 8sin(2t) - e^-2tl(cos t + 18sin tr)r)

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