Resolva as equações diferenciais a seguir.
x^2 d^2 yd x^2+4 x d yd x+2 y=4 ln x, x>0

Passo 1

Temos a equação de Euler-Cauchy
x^2y''+4x y'+2y=4ln x, x>0
O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de Euler, e vamos precisar usar a transformação t=ln x para convertê-la numa equação com coeficientes constantes.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável t=ln x, definimos u(t)=y(x). Sabemos que
y' = 1xu', y''=1x^2(u''-u'),
então a equação vira
u''-u' +4u' +2u =4t
ou simplificando,
u''+3u'+2u =4t

Passo 3

Agora resolvemos a parte homogênea u''+3u'+2u=0. O polinômio característico é
lambda^2+3lambda+2=0implies(lambda+1)(lambda+2)=0,
logo lambda=-1,-2. Assim
uh(t)=A e^-t+B e^-2t

Passo 4

Para um particular de u''+3u'+2u=4t, tentamos up=Ct+D. Então
up'=C, up''=0,
e substituindo,
0+3C+2(Ct+D)=4t
2Ct+(3C+2D)=4t+0
Igualando coeficientes: 2C=4implies C=2 e 3C+2D=0implies 6+2D=0implies D=-3. Logo
up(t)=2t-3

Passo 5

Voltando a x pela relação t=ln x, temos a solução geral
y(x)=uh(t)+up(t)=A e^-ln x+B e^-2ln x+2ln x-3
Como e^-ln x=x^-1 e e^-2ln x=x^-2, fica

Passo 6

final_answer":" y(x)=C1x^-1+C2x^-2+2ln x-3"}

Passo 7

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