Determine as derivadas panciais das funceés: z=e^x / y ln yx

Passo 1

A função dada é z = e^x/ylnyx. Aqui queremos as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y, usando a regra do produto (para ucdot v) e a regra da cadeia (para funções compostas).

Passo 2

Para partial zpartial x, escrevemos u = e^x/y e v = lnyx. Pelas regras:
partial zpartial x = u',v + u,v'
Calculando as derivadas intermediárias:
- Para u = e^x/y, temos
$$
u’ = e^{x/y}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = e^{x/y}\cdot \frac{1}{y}.
u' = e^x/ycdot partialpartial xl(xyr) = e^x/ycdot 1y
v’ = \frac{\partial}{\partial x}(\ln y - \ln x) = -\frac{1}{x}.
$$

Passo 3

Substituindo em u'v + uv' e fatorando e^x/y:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x/y}\Bigl(\frac{\ln(y/x)}{y} - \frac{1}{x}\Bigr).
$$

Passo 4

Para partial zpartial y, usamos de novo u = e^x/y e v = lnyx e aplicamos a regra do produto:
partial zpartial y = u',v + u,v'
Calculando as derivadas intermediárias:
- Para u = e^x/y, agora
$$
u’ = e^{x/y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = e^{x/y}\cdot \bigl(-\frac{x}{y^2}\bigr).
u' = e^x/ycdot partialpartial yl(xyr) = e^x/ycdot l(-xy^2r)
v’ = \frac{\partial}{\partial y}(\ln y - \ln x) = \frac{1}{y}.
$$

Passo 5

Substituindo e fatorando e^x/y:
$$\frac{\partial z}{\partial y} = e{x/y}\Bigl(-\frac{x}{y2}\ln\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\Bigr).
$$

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = e^x/yl(ln(y/x)y - 1xr), partial zpartial y = e^x/yl(-xy^2lnyx + 1yr)

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