Determine as derivadas panciais das funceés:
Passo 1
A função dada é
. Aqui queremos as derivadas parciais
e
, usando a regra do produto (para
) e a regra da cadeia (para funções compostas).
Passo 2
Para
, escrevemos
e
. Pelas regras:
Calculando as derivadas intermediárias:
- Para
$$
u’ = e^{x/y}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = e^{x/y}\cdot \frac{1}{y}.
v’ = \frac{\partial}{\partial x}(\ln y - \ln x) = -\frac{1}{x}.
$$
Passo 3
Substituindo em
e fatorando
:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x/y}\Bigl(\frac{\ln(y/x)}{y} - \frac{1}{x}\Bigr).
$$
Passo 4
Para
, usamos de novo
e
e aplicamos a regra do produto:
Calculando as derivadas intermediárias:
- Para
$$
u’ = e^{x/y}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) = e^{x/y}\cdot \bigl(-\frac{x}{y^2}\bigr).
v’ = \frac{\partial}{\partial y}(\ln y - \ln x) = \frac{1}{y}.
$$
Passo 5
Substituindo e fatorando
:
$$\frac{\partial z}{\partial y} = e{x/y}\Bigl(-\frac{x}{y2}\ln\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\Bigr).
$$
Resposta
As derivadas parciais são: