Considere a equação diferencial de ordem 2. Escreva a equação como um sistema de 2 equações de primeira ordem. Em seguida, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma solução. (Não tente resolver o sistema de EDO(b) (x-2) y^prime prime+y^prime+(x-2) tg(x) y=0

Passo 1

Aqui a gente tem uma EDO de segunda ordem: (x-2)y''+y'+(x-2)tan(x)y=0. O objetivo é escrever isso como um sistema de duas EDOs de primeira ordem e depois usar o teorema de existência e unicidade pra achar o maior intervalo onde um IVP vai ter solução garantida. Vamos precisar da ideia de transformar uma EDO de ordem n num sistema de n equações e do teorema de Picard–Lindelöf (continuidade e condição de Lipschitz).

Passo 2

Definimos y1=y e y2=y'. Então temos
y1'=y2, y2'=y''= -y'+(x-2)tan(x),yx-2 = -y2+(x-2)tan(x),y1x-2

Passo 3

Agora analisamos onde o campo vetorial
f(x,y1,y2)=l(y2,;-y2+(x-2)tan(x)y1x-2r) é contínuo (e Lipschitz em (y1,y2)). O denominador obriga xneq2 e tan(x) exige cos(x)neq0, ou seja, xneqpi2+kpi.

Passo 4

Pelo teorema de existência e unicidade, para um dado ponto inicial x0 onde x0neq2 e x0neqpi2+kpi, existe uma solução única num intervalo aberto contendo x0 que não atravessa nenhum ponto singular.

Passo 5

Portanto, o maior intervalo de existência da solução é o maior intervalo aberto em x que contém x0 e não inclui nenhum dos pontos
x=2e x=pi2+kpi

Passo 6

Em outras palavras, seja
S=2,,tfracpi2+kpi:,kin Z
Então o maior intervalo de existência é
(a,b), a=maxsin S:sx0

Resposta

Sistema equivalente:
y1'=y2, y2'=-y2+(x-2)tan(x),y1x-2
O maior intervalo onde o IVP em x0 tem solução única é o maior intervalo aberto em x que contenha x0 e não inclua nenhuma singularidade de x=2 ou x=tfracpi2+kpi. Em termos práticos, seja
S=2,tfracpi2+kpi:kin Z,
então o intervalo é
(a,b), a=maxsin S:sx0

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