Considere a equação diferencial de ordem 2. Escreva a equação como um sistema de 2 equações de primeira ordem. Em seguida, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma solução. (Não tente resolver o sistema de EDO(b)
Passo 1
Aqui a gente tem uma EDO de segunda ordem:
. O objetivo é escrever isso como um sistema de duas EDOs de primeira ordem e depois usar o teorema de existência e unicidade pra achar o maior intervalo onde um IVP vai ter solução garantida. Vamos precisar da ideia de transformar uma EDO de ordem n num sistema de n equações e do teorema de Picard–Lindelöf (continuidade e condição de Lipschitz).
Passo 2
Definimos
e
. Então temos
Passo 3
Agora analisamos onde o campo vetorial
Passo 4
Pelo teorema de existência e unicidade, para um dado ponto inicial
onde
e
, existe uma solução única num intervalo aberto contendo
que não atravessa nenhum ponto singular.
Passo 5
Portanto, o maior intervalo de existência da solução é o maior intervalo aberto em
que contém
e não inclui nenhum dos pontos
Passo 6
Em outras palavras, seja
Então o maior intervalo de existência é
Resposta
Sistema equivalente:
O maior intervalo onde o IVP em
tem solução única é o maior intervalo aberto em
que contenha
e não inclua nenhuma singularidade de
ou
. Em termos práticos, seja
então o intervalo é