Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes.
2.
2.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
e pede para encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente
vezes. Neste caso concreto temos
(porque a derivada mais alta é a segunda). As informações relevantes são:
- A equação relaciona a segunda derivada de
com a constante . - Quer-se a solução geral
, que deve conter duas constantes arbitrárias (uma por cada integração, já que é uma equação de ordem 2).
Passo 2
Ideia e lembrete sobre integração indefinida (a “aula rápida”): integrar uma função é encontrar uma primitiva. Para uma função
, uma primitiva é uma função
tal que
. A integral indefinida escreve-se
onde
é uma constante arbitrária. Importante: cada vez que se integra obtemos uma nova constante arbitrária, porque derivadas “perdem” constantes. Também vale esta propriedade simples que vamos usar:
pois a derivada de
é
.
Passo 3
Primeira integração (reduzimos a ordem de 2 para 1). Integramos ambos os lados em relação a
:
Pelo raciocínio da Passo 2, o lado esquerdo vira
mais uma constante, e o lado direito é uma primitiva de
. Calculando:
onde
é a constante de integração obtida na primeira integração. Observação sobre o cálculo:
porque a primitiva de
é
e o coeficiente permanece.
Passo 4
Segunda integração (reduzimos de 1 para 0). Integramos novamente ambos os lados:
No lado esquerdo obtemos
mais uma constante, e no direito calculamos as primitivas termo a termo:
Portanto
onde
é a segunda constante de integração. Essa é a forma geral da solução — um polinômio de grau 2 com coeficiente principal vindo da constante do lado direito da equação diferencial.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a solução obtida duas vezes deve-se recuperar a equação original.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
que é exatamente a equação dada. Logo a solução está correta.
Passo 6
Comentário geral e pequena generalização didática: quando se tem
com
constante, integrar
vezes dá um polinômio de grau
cujos coeficientes envolvem
e
constantes de integração
. A forma geral é
No nosso caso
e
, o que reduz à solução encontrada acima.