Encontre a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes.
2. y^{\prime \prime}=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y'' = 2,
e pede para encontrar a solução geral integrando ambos os lados consecutivamente n vezes. Neste caso concreto temos n=2 (porque a derivada mais alta é a segunda). As informações relevantes são:
  • A equação relaciona a segunda derivada de y com a constante 2.
  • Quer-se a solução geral y(x), que deve conter duas constantes arbitrárias (uma por cada integração, já que é uma equação de ordem 2).

Passo 2

Ideia e lembrete sobre integração indefinida (a “aula rápida”): integrar uma função é encontrar uma primitiva. Para uma função f(x), uma primitiva é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x). A integral indefinida escreve-se
\int f(x)\,dx = F(x) + C,
onde C é uma constante arbitrária. Importante: cada vez que se integra obtemos uma nova constante arbitrária, porque derivadas “perdem” constantes. Também vale esta propriedade simples que vamos usar:
\int y^{(k)}(x)\,dx = y^{(k-1)}(x) + C,
pois a derivada de y^{(k-1)} é y^{(k)}.

Passo 3

Primeira integração (reduzimos a ordem de 2 para 1). Integramos ambos os lados em relação a x:
\int y''(x)\,dx = \int 2\,dx.
Pelo raciocínio da Passo 2, o lado esquerdo vira y'(x) mais uma constante, e o lado direito é uma primitiva de 2. Calculando:
y'(x) = 2x + C_1,
onde \,C_1 é a constante de integração obtida na primeira integração. Observação sobre o cálculo: \int 2\,dx = 2x + C_1 porque a primitiva de x^0 é x e o coeficiente permanece.

Passo 4

Segunda integração (reduzimos de 1 para 0). Integramos novamente ambos os lados:
\int y'(x)\,dx = \int \bigl(2x + C_1\bigr)\,dx.
No lado esquerdo obtemos y(x) mais uma constante, e no direito calculamos as primitivas termo a termo:
\int 2x\,dx = x^2,\qquad \int C_1\,dx = C_1 x.
Portanto
y(x) = x^2 + C_1 x + C_2,
onde \,C_2 é a segunda constante de integração. Essa é a forma geral da solução — um polinômio de grau 2 com coeficiente principal vindo da constante do lado direito da equação diferencial.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a solução obtida duas vezes deve-se recuperar a equação original.
Primeira derivada:
y'(x) = 2x + C_1.
Segunda derivada:
y''(x) = 2,
que é exatamente a equação dada. Logo a solução está correta.

Passo 6

Comentário geral e pequena generalização didática: quando se tem \,y^{(n)}(x)=a com a constante, integrar n vezes dá um polinômio de grau n cujos coeficientes envolvem a e n constantes de integração \,C_1,\dots,C_n. A forma geral é
y(x)=\frac{a}{n!}x^n + \frac{C_1}{(n-1)!}x^{n-1}+\cdots+C_n.
No nosso caso n=2 e a=2, o que reduz à solução encontrada acima.

Resposta

y(x)=x^{2}+C_{1}x+C_{2}

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