Considere um circuito elétrico R-C (resistor e capacitor em série) ligado a uma fonte de tensão constante
.
- Obtenha as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica
e da carga no capacitor
durante o processo de carregamento e descarregamento do capacitor.
- Resolva as equações diferenciais, encontrando as expressões analíticas de
e
em função do tempo.
- Plote os gráficos de:
Carga no capacitor
em função do tempo.
Corrente elétrica
em função do tempo.
Carga no capacitor
Corrente elétrica
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Obter as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica
e da carga no capacitor durante o carregamento e durante o descarregamento de um circuito série – ligado a uma fonte de tensão constante . - Resolver essas equações diferenciais e encontrar expressões analíticas para
e . - Gerar os gráficos de
e em função do tempo.
Informações e hipóteses que vamos usar (fornecidas ou natural para o problema):
- O circuito é série: fonte de tensão
, resistor e capacitor em série. - A tensão no capacitor é
porque a carga no capacitor é e a relação carga-tensão do capacitor é . - A queda de tensão no resistor é
. - Convenção de sinais e definição de corrente: usaremos
. Assim positiva significa a carga do capacitor aumentando. - Condições iniciais típicas:
- Para carregamento: assumimos que no instante
o capacitor está descarregado, isto é . - Para descarregamento: o capacitor começa com uma carga inicial
. Quando o capacitor foi previamente carregado pela fonte até , .
- Para carregamento: assumimos que no instante
A resolução seguirá derivando as equações (KVL), transformando-as em ODEs e resolvendo passo a passo. A parte dos gráficos será entregue como código pronto (por exemplo em Python/matplotlib) que você pode executar para obter os desenhos.
Passo 2
Derivando a equação diferencial para o processo de carregamento (passo a passo didático).
- Escrevendo a Lei das Malhas (KVL) no circuito durante o carregamento: a tensão fornecida pela fonte é igual à soma das quedas no resistor e no capacitor. Portanto:
Aqui:
-
é a tensão da fonte (constante). -
é a queda de tensão no resistor. -
é a tensão no capacitor.
- Usando a relação entre corrente e carga:
. Substituindo na equação acima:
- Colocando em forma padrão (equação linear de primeira ordem):
Essa é a equação diferencial que descreve o carregamento. É uma ODE linear de primeira ordem não homogênea.
Passo 3
Resolvendo a ODE do carregamento passo a passo (método do fator integrante).
A equação é
Definimos a constante de tempo
O fator integrante é
Multiplicando a ODE por
:
A esquerda é a derivada de
, ou seja:
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral
. Logo:
Substituindo
e simplificando:
Isolando
:
Aplicando a condição inicial de carregamento
:
Portanto a solução final para a carga durante o carregamento é
com
.
Agora a corrente é
. Diferenciando:
Substituindo
simplifica para
Observações físicas rápidas (úteis para prova): em
temos
(corrente máxima), e quando
e
.
Passo 4
Equações e solução para o processo de descarregamento (passo a passo).
Configuração: a fonte foi retirada (ou aberta) e o capacitor descarrega através do resistor
. A KVL agora não tem fonte, então a soma das quedas é zero:
Usando
:
Ou em forma padrão:
Esta é uma ODE linear homogênea de primeira ordem.
Resolvendo (método de separação ou reconhecimento de exponencial):
Separando variáveis:
Integrando:
Aplicando condição inicial
:
Se o capacitor foi previamente carregado até
, então
e
A corrente de descarga é
Se
, isso dá
O sinal negativo indica que a corrente tem sentido oposto ao adotado no carregamento (a carga diminui).
Passo 5
Resumo das fórmulas importantes (úteis para decorar e para a prova):
- Constante de tempo:
- Carregamento (condição
):
- Descarregamento (condição
, ou se estava completamente carregado):
Passo 6
Como obter os gráficos (código pronto em Python/matplotlib). Você pode copiar e colar este código e executá-lo (por exemplo num Jupyter notebook) para ver os gráficos de
e
tanto para carregamento quanto para descarregamento.
# Código Python para plotar q(t) e i(t) no carregamento e descarregamento
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros (exemplo)
R = 1e3 # ohm
C = 1e-6 # farad
V0 = 5.0 # volts
tau = R*C
# Vetores de tempo
t_max = 5*tau
t = np.linspace(0, t_max, 500)
# Carregamento
q_car = C*V0*(1 - np.exp(-t/tau))
i_car = (V0/R)*np.exp(-t/tau)
# Descarregamento (assumindo Q0 = C*V0)
Q0 = C*V0
q_des = Q0*np.exp(-t/tau)
i_des = -(V0/R)*np.exp(-t/tau)
# Plot q(t)
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(t, q_car, label='q_car(t) carregamento')
plt.plot(t, q_des, '--', label='q_des(t) descarregamento')
plt.xlabel('tempo (s)')
plt.ylabel('carga q \text{(C)}')
plt.title('Carga no capacitor q(t)')
plt.legend()
plt.grid(True)
# Plot i(t)
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(t, i_car, label='i_car(t) carregamento')
plt.plot(t, i_des, '--', label='i_des(t) descarregamento')
plt.xlabel('tempo (s)')
plt.ylabel('corrente i (A)')
plt.title('Corrente i(t)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
Dica prática: use
ou
para ver bem a dinâmica (em ~
a resposta exponencial já está bem próxima do valor final).