Considere um circuito elétrico R-C (resistor e capacitor em série) ligado a uma fonte de tensão constante \mathrm{V}_{0}.
  1. Obtenha as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica \mathrm{i}(\mathrm{t}) e da carga no capacitor \mathrm{q}(\mathrm{t}) durante o processo de carregamento e descarregamento do capacitor.
  2. Resolva as equações diferenciais, encontrando as expressões analíticas de i(t) e q(t) em função do tempo.
  3. Plote os gráficos de:
    Carga no capacitor \mathrm{q}(\mathrm{t}) em função do tempo.
    Corrente elétrica i(t) em função do tempo.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Obter as equações diferenciais que descrevem o comportamento da corrente elétrica \mathrm{i}(t) e da carga no capacitor \mathrm{q}(t) durante o carregamento e durante o descarregamento de um circuito série R C ligado a uma fonte de tensão constante \mathrm{V}_{0}.
  2. Resolver essas equações diferenciais e encontrar expressões analíticas para \mathrm{i}(t) e \mathrm{q}(t).
  3. Gerar os gráficos de \mathrm{q}(t) e \mathrm{i}(t) em função do tempo.
Informações e hipóteses que vamos usar (fornecidas ou natural para o problema):
  • O circuito é série: fonte de tensão \mathrm{V}_{0}, resistor R e capacitor C em série.
  • A tensão no capacitor é \dfrac{q(t)}{C} porque a carga no capacitor é \mathrm{q}(t) e a relação carga-tensão do capacitor é v_C=\dfrac{q}{C}.
  • A queda de tensão no resistor é i(t)R.
  • Convenção de sinais e definição de corrente: usaremos \mathrm{i}(t)=\dfrac{d q(t)}{d t}. Assim \mathrm{i}(t) positiva significa a carga do capacitor aumentando.
  • Condições iniciais típicas:
    • Para carregamento: assumimos que no instante t=0 o capacitor está descarregado, isto é \mathrm{q}(0)=0.
    • Para descarregamento: o capacitor começa com uma carga inicial \mathrm{q}(0)=Q_{0}. Quando o capacitor foi previamente carregado pela fonte até \mathrm{V}_{0}, \;Q_{0}=C\,\mathrm{V}_{0}.
A resolução seguirá derivando as equações (KVL), transformando-as em ODEs e resolvendo passo a passo. A parte dos gráficos será entregue como código pronto (por exemplo em Python/matplotlib) que você pode executar para obter os desenhos.

Passo 2

Derivando a equação diferencial para o processo de carregamento (passo a passo didático).
  1. Escrevendo a Lei das Malhas (KVL) no circuito durante o carregamento: a tensão fornecida pela fonte é igual à soma das quedas no resistor e no capacitor. Portanto:
\mathrm{V}_{0} - i(t)R - \frac{q(t)}{C} = 0.
Aqui:
  • \mathrm{V}_{0} é a tensão da fonte (constante).
  • i(t)R é a queda de tensão no resistor.
  • \dfrac{q(t)}{C} é a tensão no capacitor.
  1. Usando a relação entre corrente e carga: \;i(t)=\dfrac{d q(t)}{d t}. Substituindo na equação acima:
R\frac{d q(t)}{d t} + \frac{1}{C}\,q(t) = \mathrm{V}_{0}.
  1. Colocando em forma padrão (equação linear de primeira ordem):
\frac{d q(t)}{d t} + \frac{1}{RC}\,q(t) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}.
Essa é a equação diferencial que descreve o carregamento. É uma ODE linear de primeira ordem não homogênea.

Passo 3

Resolvendo a ODE do carregamento passo a passo (método do fator integrante).
A equação é
\frac{d q}{d t} + \frac{1}{RC} q = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}.
Definimos a constante de tempo
\tau = RC.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{RC}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{t}{RC}\right)=e^{t/\tau}.
Multiplicando a ODE por \mu(t):
e^{t/\tau}\frac{d q}{d t} + \frac{1}{RC}e^{t/\tau} q = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R} e^{t/\tau}.
A esquerda é a derivada de e^{t/\tau} q(t), ou seja:
\frac{d}{d t}\big( e^{t/\tau} q(t)\big) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R} e^{t/\tau}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t/\tau} q(t) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R} \int e^{t/\tau}\,dt + C_1.
A integral \int e^{t/\tau}\,dt = \tau e^{t/\tau}. Logo:
e^{t/\tau} q(t) = \frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,\tau e^{t/\tau} + C_1.
Substituindo \tau = RC e simplificando:
e^{t/\tau} q(t) = \mathrm{V}_{0} C\, e^{t/\tau} + C_1.
Isolando q(t):
q(t) = C \mathrm{V}_{0} + C_1 e^{-t/\tau}.
Aplicando a condição inicial de carregamento \;q(0)=0:
0 = C\mathrm{V}_{0} + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -C\mathrm{V}_{0}.
Portanto a solução final para a carga durante o carregamento é
\boxed{\,q_{\text{car}}(t)=C\mathrm{V}_{0}\big(1 - e^{-t/\tau}\big)\,}
com \tau = RC.
Agora a corrente é \;i(t)=\dfrac{d q(t)}{d t}. Diferenciando:
i_{\text{car}}(t) = \frac{d}{dt}\Big[C\mathrm{V}_{0}\big(1 - e^{-t/\tau}\big)\Big] = C\mathrm{V}_{0}\cdot\frac{1}{\tau} e^{-t/\tau}.
Substituindo \tau = RC simplifica para
\boxed{\,i_{\text{car}}(t)=\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/\tau}\,.}
Observações físicas rápidas (úteis para prova): em t=0 temos i_{\text{car}}(0)=\dfrac{\mathrm{V}_{0}}{R} (corrente máxima), e quando t\to\infty i_{\text{car}}(t)\to0 e q_{\text{car}}(t)\to C\mathrm{V}_{0}.

Passo 4

Equações e solução para o processo de descarregamento (passo a passo).
Configuração: a fonte foi retirada (ou aberta) e o capacitor descarrega através do resistor R. A KVL agora não tem fonte, então a soma das quedas é zero:
- i(t)R - \frac{q(t)}{C} = 0.
Usando i(t)=\dfrac{dq}{dt}:
R\frac{d q}{d t} + \frac{1}{C} q = 0.
Ou em forma padrão:
\frac{d q}{d t} + \frac{1}{RC} q = 0.
Esta é uma ODE linear homogênea de primeira ordem.
Resolvendo (método de separação ou reconhecimento de exponencial):
\frac{d q}{d t} = -\frac{1}{RC} q.
Separando variáveis:
\frac{d q}{q} = -\frac{1}{RC}\,dt.
Integrando:
\ln |q| = -\frac{t}{RC} + \ln K \quad\Rightarrow\quad q(t)=K e^{-t/\tau}.
Aplicando condição inicial q(0)=Q_{0}:
q_{\text{des}}(t) = Q_{0}\,e^{-t/\tau}.
Se o capacitor foi previamente carregado até \mathrm{V}_{0}, então Q_{0}=C\mathrm{V}_{0} e
q_{\text{des}}(t) = C\mathrm{V}_{0}\,e^{-t/\tau}.
A corrente de descarga é
i_{\text{des}}(t)=\frac{d q_{\text{des}}}{d t} = -\frac{Q_{0}}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
Se Q_{0}=C\mathrm{V}_{0}, isso dá
\boxed{\,i_{\text{des}}(t) = -\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/\tau}\,.}
O sinal negativo indica que a corrente tem sentido oposto ao adotado no carregamento (a carga diminui).

Passo 5

Resumo das fórmulas importantes (úteis para decorar e para a prova):
  • Constante de tempo: \displaystyle \tau = RC.
  • Carregamento (condição q(0)=0): \boxed{\,q_{\text{car}}(t)=C\mathrm{V}_{0}\big(1 - e^{-t/\tau}\big)\,}
\boxed{\,i_{\text{car}}(t)=\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/\tau}\,}
  • Descarregamento (condição q(0)=Q_{0}, ou Q_{0}=C\mathrm{V}_{0} se estava completamente carregado): \boxed{\,q_{\text{des}}(t)=Q_{0}\,e^{-t/\tau}\quad\text{(se }Q_{0}=C\mathrm{V}_{0}\text{ então }q_{\text{des}}(t)=C\mathrm{V}_{0}e^{-t/\tau}\,)}ã
\boxed{\,i_{\text{des}}(t)=-\frac{Q_{0}}{RC}\,e^{-t/\tau}=-\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/\tau}\quad\text{(quando }Q_{0}=C\mathrm{V}_{0}\text{)}.}

Passo 6

Como obter os gráficos (código pronto em Python/matplotlib). Você pode copiar e colar este código e executá-lo (por exemplo num Jupyter notebook) para ver os gráficos de \mathrm{q}(t) e \mathrm{i}(t) tanto para carregamento quanto para descarregamento.
# Código Python para plotar q(t) e i(t) no carregamento e descarregamento
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros (exemplo)
R = 1e3       # ohm
C = 1e-6      # farad
V0 = 5.0      # volts
tau = R*C

# Vetores de tempo
t_max = 5*tau
t = np.linspace(0, t_max, 500)

# Carregamento
q_car = C*V0*(1 - np.exp(-t/tau))
i_car = (V0/R)*np.exp(-t/tau)

# Descarregamento (assumindo Q0 = C*V0)
Q0 = C*V0
q_des = Q0*np.exp(-t/tau)
i_des = -(V0/R)*np.exp(-t/tau)

# Plot q(t)
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(t, q_car, label='q_car(t) carregamento')
plt.plot(t, q_des, '--', label='q_des(t) descarregamento')
plt.xlabel('tempo (s)')
plt.ylabel('carga q \text{(C)}')
plt.title('Carga no capacitor q(t)')
plt.legend()
plt.grid(True)

# Plot i(t)
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(t, i_car, label='i_car(t) carregamento')
plt.plot(t, i_des, '--', label='i_des(t) descarregamento')
plt.xlabel('tempo (s)')
plt.ylabel('corrente i (A)')
plt.title('Corrente i(t)')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
Dica prática: use t_{\text{max}}=5\tau ou 10\tau para ver bem a dinâmica (em ~ 5\tau a resposta exponencial já está bem próxima do valor final).

Resposta

\text{Equação diferencial de carregamento:}\qquad R\frac{d q}{d t}+\frac{1}{C}q=\mathrm{V}_{0}.çã
\text{Solução (carregamento), com }q(0)=0:\qquad q_{\text{car}}(t)=C\mathrm{V}_{0}\big(1-e^{-t/RC}\big).çã
\text{Corrente (carregamento):}\qquad i_{\text{car}}(t)=\frac{\mathrm{V}_{0}}{R}\,e^{-t/RC}.
\text{Equação diferencial de descarregamento:}\qquad R\frac{d q}{d t}+\frac{1}{C}q=0.çã
\text{Solução (descarregamento), com }q(0)=Q_{0}:\qquad q_{\text{des}}(t)=Q_{0}\,e^{-t/RC}.çã
\text{Corrente (descarregamento):}\qquad i_{\text{des}}(t)=-\frac{Q_{0}}{RC}\,e^{-t/RC}\quad\text{(se }Q_{0}=C\mathrm{V}_{0}\text{ então }i_{\text{des}}(t)=-\tfrac{\mathrm{V}_{0}}{R}e^{-t/RC}\text{).}ã

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