(a) Mostre que a energia
de um fóton se relaciona com o seu comprimento de onda
por meio da equação,
(b) Se a função trabalho para um metal é igual a 1.85 eV , qual seria o seu potencial de corte para a luz que tivesse
? (c) Qual seria a velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos da superfície do metal?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar a relação entre a energia
de um fóton e o seu comprimento de onda , obtendo a fórmula . - (b) Dado que a função trabalho (trabalho de extração) do metal é
e que a luz tem , calcular o potencial de corte (potencial de parada) . - (c) Calcular a velocidade máxima
dos fotoelétrons emitidos.
Informações e constantes que vamos usar (fornecidas ou padrão):
- Comprimento de onda da luz:
. - Função trabalho do metal:
. - Constante de Planck:
. - Velocidade da luz no vácuo:
. - Carga elementar (para converter joule ⇄ eV):
(ou ). - Massa do elétron:
.
A partir daqui eu faço as contas passo a passo e explico cada fórmula usada.
Passo 2
Derivando a fórmula geral
.
Primeiro, a relação fundamental de Planck para a energia de um fóton é
onde
é a energia do fóton (em joules se
está em SI) e
é a frequência (Hz). A frequência e o comprimento de onda estão ligados pela relação da onda eletromagnética:
onde
é a velocidade da luz e
o comprimento de onda (em metros se
está em SI). Substituindo,
Aqui
(J·s) e
(m/s) dão
em unidades de J·m.
Agora queremos expressar
em electronvolts (
) e
em nanômetros (
). Para isso, dividimos
por a carga elementar
para converter de joules para eV, e usamos
. Assim,
Calculando esse valor numérico (mostrando os passos):
Convertendo metros para nanômetros (
):
Arredondando de forma prática (e conveniente para exame) obtemos o valor usual:
Portanto a fórmula em unidades práticas é
onde
está em
e
em
.
Passo 3
Calcular a energia do fóton para
usando a fórmula obtida.
Aplicando
temos
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais dá
, mas vou manter
para mais precisão nas contas seguintes.
Passo 4
Calcular o potencial de corte
.
Na fotoeletricidade a energia cinética máxima dos fotoelétrons é
onde
e
estão na mesma unidade (aqui em
). Além disso, a energia cinética máxima pode ser parada por um potencial
tal que
Se trabalhamos em
, isso simplifica para
em volts numericamente igual a
em
. Logo
Substituindo os valores:
Como
de energia corresponde a
de potencial para uma carga unitária, isto dá
(arredondado a três dígitos significativos).
Passo 5
Calcular a velocidade máxima
dos fotoelétrons.
Primeiro converto a energia cinética máxima para joules:
A relação entre energia cinética e velocidade (não-relativística) é
onde
é a massa do elétron. Isolando
:
Substituindo os números:
Faço a razão interna:
então
Observação didática: como
, que é muito menor que
, a aproximação não-relativística
é válida.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)