(a) Mostre que a energia E de um fóton se relaciona com o seu comprimento de onda \lambda por meio da equação,
E=\frac{1240}{\lambda} \mathrm{eV} \cdot \mathrm{~nm}
(b) Se a função trabalho para um metal é igual a 1.85 eV , qual seria o seu potencial de corte para a luz que tivesse \lambda=410 \mathrm{~nm} ? (c) Qual seria a velocidade máxima dos fotoelétrons emitidos da superfície do metal?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Mostrar a relação entre a energia E de um fóton e o seu comprimento de onda \lambda, obtendo a fórmula \displaystyle E=\frac{1240}{\lambda}\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
  2. (b) Dado que a função trabalho (trabalho de extração) do metal é \varphi=1,85\\ \mathrm{eV} e que a luz tem \lambda=410\\ \mathrm{nm}, calcular o potencial de corte (potencial de parada) V_0.
  3. (c) Calcular a velocidade máxima v_{\max} dos fotoelétrons emitidos.
Informações e constantes que vamos usar (fornecidas ou padrão):
  • Comprimento de onda da luz: \lambda=410\\ \mathrm{nm}.
  • Função trabalho do metal: \varphi=1,85\\ \mathrm{eV}.
  • Constante de Planck: h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Carga elementar (para converter joule ⇄ eV): e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (ou \mathrm{J/eV}).
  • Massa do elétron: m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
A partir daqui eu faço as contas passo a passo e explico cada fórmula usada.

Passo 2

Derivando a fórmula geral \displaystyle E=\frac{1240}{\lambda}\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Primeiro, a relação fundamental de Planck para a energia de um fóton é
E = h\nu,
onde E é a energia do fóton (em joules se h está em SI) e \nu é a frequência (Hz). A frequência e o comprimento de onda estão ligados pela relação da onda eletromagnética:
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz e \lambda o comprimento de onda (em metros se c está em SI). Substituindo,
E = h\frac{c}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda}.
Aqui h (J·s) e c (m/s) dão hc em unidades de J·m.
Agora queremos expressar E em electronvolts ( \mathrm{eV}) e \lambda em nanômetros ( \mathrm{nm}). Para isso, dividimos hc por a carga elementar e para converter de joules para eV, e usamos 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}. Assim,
\frac{hc}{e} = \frac{6{,}62607015\times10^{-34}\cdot 2{,}99792458\times10^{8}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV\cdot m}.
Calculando esse valor numérico (mostrando os passos):
\frac{hc}{e} \approx 1{,}23984198\times10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}.
Convertendo metros para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
1{,}23984198\times10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m} \times 10^{9}\\ \frac{\mathrm{nm}}{\mathrm{m}} \approx 1{,}239{,}841{,}98\times10^{3}\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Arredondando de forma prática (e conveniente para exame) obtemos o valor usual:
\frac{hc}{e} \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Portanto a fórmula em unidades práticas é
E = \frac{1240}{\lambda}\\ \mathrm{eV\cdot nm},
onde \lambda está em \mathrm{nm} e E em \mathrm{eV}.

Passo 3

Calcular a energia do fóton para \lambda=410\\ \mathrm{nm} usando a fórmula obtida.
Aplicando
E=\frac{1240}{\lambda},
temos
E=\frac{1240}{410}\\ \mathrm{eV} \approx 3{,}02439\\ \mathrm{eV}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais dá E\approx 3{,}02\\ \mathrm{eV}, mas vou manter 3{,}02439\\ \mathrm{eV} para mais precisão nas contas seguintes.

Passo 4

Calcular o potencial de corte V_0.
Na fotoeletricidade a energia cinética máxima dos fotoelétrons é
K_{\max} = E_{\text{fóton}} - \varphi,ó
onde E_{\text{fóton}}ó e \varphi estão na mesma unidade (aqui em \mathrm{eV}). Além disso, a energia cinética máxima pode ser parada por um potencial V_0 tal que
K_{\max} = eV_0.
Se trabalhamos em \mathrm{eV}, isso simplifica para V_0 em volts numericamente igual a K_{\max} em \mathrm{eV}. Logo
V_0 = E - \varphi.
Substituindo os valores:
V_0 = 3{,}02439\\ \mathrm{eV} - 1{,}85\\ \mathrm{eV} = 1{,}17439\\ \mathrm{eV}.
Como 1\\ \mathrm{eV} de energia corresponde a 1\\ \mathrm{V} de potencial para uma carga unitária, isto dá
V_0 \approx 1{,}17\\ \mathrm{V}
(arredondado a três dígitos significativos).

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v_{\max} dos fotoelétrons.
Primeiro converto a energia cinética máxima para joules:
K_{\max} = 1{,}17439\\ \mathrm{eV} \times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{eV}}
K_{\max} \approx 1{,}881579234\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
A relação entre energia cinética e velocidade (não-relativística) é
K_{\max} = \tfrac{1}{2} m_e v_{\max}^2,
onde m_e é a massa do elétron. Isolando v_{\max}:
v_{\max} = \sqrt{\frac{2K_{\max}}{m_e}}.
Substituindo os números:
v_{\max} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}881579234\times10^{-19}}{9{,}10938356\times10^{-31}}}\\ \mathrm{m/s}.
Faço a razão interna:
\frac{2\cdot 1{,}881579234\times10^{-19}}{9{,}10938356\times10^{-31}} \approx 4{,}1313\times10^{11},
então
v_{\max} \approx \sqrt{4{,}1313\times10^{11}}\\ \mathrm{m/s} \approx 6{,}43\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: como v_{\max}\approx 6{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}, que é muito menor que c, a aproximação não-relativística K=\tfrac12 m v^2 é válida.

Resposta

(a) E=\dfrac{1240}{\lambda}\\ \mathrm{eV\cdot nm}\n
(b) V_0\approx 1{,}17\\ \mathrm{V}\n
(c) v_{\max}\approx 6{,}43\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}

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