3) ( 2 pontos)

A resistência elétrica de um resistor de fio metálico é 60 \Omega. Cortando-se um pedaço de 3 m do fio, verifica-se que a resistência do resistor passa a ser 15 \Omega. Calcule o comprimento total do fio.

Passo 1

Enunciado e dados que temos: a resistência inicial do resistor é 60\\ \Omega. Ao cortar-se um pedaço de fio de comprimento 3\\ \mathrm{m}, a nova resistência passa a ser 15\\ \Omega. O que o problema pede: calcular o comprimento total inicial do fio (antes de cortar).

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): a resistência elétrica de um fio homogêneo e com seção constante obedece à fórmula
R=\rho\frac{L}{A},
onde R é a resistência, \rho é a resistividade do material (uma constante do material), L é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal. Aqui todas as grandezas são positivas. Como \rho e A são os mesmos antes e depois do corte (assumimos fio uniforme e mesma temperatura), podemos concluir que a resistência é diretamente proporcional ao comprimento:
R\propto L.
Isso significa que a razão entre resistências é igual à razão entre comprimentos.

Passo 3

Usando a proporcionalidade R\propto L, escrevemos a relação entre a resistência depois do corte R_1 e a resistência antes do corte R_0:
\frac{R_1}{R_0}=\frac{L-3}{L},
onde L é o comprimento total inicial (em metros) e usamos que o novo comprimento é L-3 (peguei o dado do enunciado: pedaço cortado de 3\\ \mathrm{m}). Substituindo os valores numéricos R_0=60\\ \Omega e R_1=15\\ \Omega:
\frac{15}{60}=\frac{L-3}{L}.

Passo 4

Simplificamos o lado esquerdo:
\frac{15}{60}=\frac{1}{4}.
Portanto temos a equação
\frac{1}{4}=\frac{L-3}{L}.
Agora resolvemos passo a passo: multiplico ambos os lados por L,
\frac{1}{4}\,L = L-3.
Multiplico tudo por 4 para eliminar a fração:
L = 4(L-3).
Distribuo no lado direito:
L = 4L - 12.
Levo os termos com L para um lado:
L - 4L = -12,
-3L = -12.
Divido por -3:
L = \frac{-12}{-3}=4.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida: L=4 significa que o fio tinha 4\\ \mathrm{m} inicialmente. Ao cortar 3\\ \mathrm{m} sobra 1\\ \mathrm{m}; como a resistência é proporcional ao comprimento, a resistência cai para 1/4 do valor inicial, ou seja 60\\ \Omega passa para 15\\ \Omega, que é exatamente o que o enunciado informou. Resultado consistente!

Resposta

4\\ \mathrm{m}

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