A resistência elétrica de um resistor em forma de fio é de 80 \Omega. Calcule o comprimento do fio, sabendo que, ao cortar 2 m dele, a resistência passa a ser de 60 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o comprimento inicial do fio.
  • Resistência inicial: R_1 = 80\\ \Omega.
  • Depois de cortar 2\\ \mathrm{m}, a resistência passa a ser: R_2 = 60\\ \Omega.
  • Comprimento cortado: \Delta L = 2\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede: o comprimento inicial L do fio.
  • Pressuposição (implícita e necessária): o fio é feito do mesmo material e tem seção transversal uniforme, ou seja, a resistividade \rho e a área A permanecem constantes.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula física que relaciona resistência, comprimento e área da seção transversal:
R = \frac{\rho\,L}{A}
Expliquei cada termo:
  • \rho é a resistividade do material (uma constante do material).
  • L é o comprimento do fio.
  • A é a área da seção transversal do fio.
    Como \rho e A são constantes para nosso fio, a resistência é proporcional ao comprimento: podemos escrever R = kL, onde k=\rho/A é uma constante para aquele fio.

Passo 3

Escrevo as duas resistências usando k:
R_1 = kL
R_2 = k(L - 2)
Agora divido a primeira equação pela segunda para eliminar k (assim não precisamos conhecer \rho nem A):
\frac{R_1}{R_2} = \frac{kL}{k(L-2)} = \frac{L}{L-2}

Passo 4

Substituo os valores numéricos dados na relação obtida:
\frac{80}{60} = \frac{L}{L-2}
Simplifico a fração do lado esquerdo:
\frac{4}{3} = \frac{L}{L-2}

Passo 5

Resolvo a equação para L. Faço a multiplicação em cruz:
4(L-2) = 3L
Desenvolvendo o lado esquerdo:
4L - 8 = 3L
Isolo L:
4L - 3L = 8
L = 8

Passo 6

Checagem rápida para ficar tranquilo: se L=8\\ \mathrm{m}, após cortar 2\\ \mathrm{m} o novo comprimento é 6\\ \mathrm{m}. Como R é proporcional a L,
R_2 = R_1\cdot\frac{6}{8} = 80\cdot\frac{3}{4} = 60\\ \Omega,
confere com o enunciado.

Resposta

8\\ \mathrm{m}

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