Considere o circuito série formado por uma fonte ideal de força eletromotriz constante \mathcal{E}, um resistor R e um capacitor C. Num instante t=0 fecha-se a chave, ligando a fonte ao circuito; antes de t=0, o capacitor está descarregado ( q(0)=0 ).
a) Escreva a equação diferencial que governa a carga q(t) no capacitor usando a Lei de Kirchhoff das malhas.
b) Resolva a equação diferencial e obtenha explicitamente q(t) e i(t) para t \geq 0. Expresse as soluções em termos da constante de tempo \tau=R C.
c) Determine o valor limite de q(t) quando \mathrm{t} \rightarrow \infty \mathrm{e} interprete fisicamente.
d) Esboce os gráficos q(t) e i(t) versus t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
  • Dado: circuito série formado por uma fonte ideal de fem constante \mathcal{E}, um resistor R e um capacitor C.
  • Condição inicial: a chave fecha em t=0 e antes disso o capacitor está descarregado, isto é \;q(0)=0.
  • O que é pedido:
    a) Escrever a equação diferencial que governa a carga \;q(t) no capacitor usando a Lei de Kirchhoff das malhas.
    b) Resolver a equação diferencial e obter explicitamente \;q(t) e \;i(t) para \;t\ge 0, expressando as soluções em termos da constante de tempo \tau=RC.
    c) Determinar o valor limite de \;q(t) quando \;t\to\infty e interpretar fisicamente.
    d) Esboçar/descrever os gráficos de \;q(t) e \;i(t) versus t.

Passo 2

Escrevendo as relações fundamentais do circuito (a ideia é só listar as equações que conectam as grandezas, sem resolver ainda):
  • Tensão no capacitor em função da carga:
v_C(t)=\frac{q(t)}{C}.
Explicação rápida: um capacitor armazena carga q e a diferença de potencial entre suas placas é q/C.
  • Corrente como derivada da carga:
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Explicação rápida: corrente é taxa de variação da carga armazenada por unidade de tempo.
  • Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas (soma algébrica das quedas de tensão ao redor da malha é zero). Percorrendo a malha no sentido da queda de tensão da fonte:
\mathcal{E}-i(t)R-v_C(t)=0.
Agora substituímos v_C e i pelas expressões acima para obter a equação diferencial (esta é a resposta da parte a).

Passo 3

Derivando explicitamente a equação diferencial (resposta a):
Substituindo v_C=\dfrac{q}{C} e i=\dfrac{dq}{dt} em \mathcal{E}-iR-v_C=0 obtemos
\mathcal{E}-R\frac{dq}{dt}-\frac{q}{C}=0.
Rearranjando para a forma canônica de uma ODE de primeira ordem:
\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=\frac{\mathcal{E}}{R}.
Esta é a equação diferencial linear de primeira ordem que governa \;q(t).

Passo 4

Resolvendo a ODE (método do fator integrante) — parte b, passo a passo didático:
A ODE tem a forma padrão
\frac{dq}{dt}+a\,q=b,
com a=\dfrac{1}{RC} e b=\dfrac{\mathcal{E}}{R}.
  1. Calculamos o fator integrante \mu(t)=e^{\int a\,dt}=e^{t/(RC)}.
  2. Multiplicando a ODE por \mu(t):
e^{t/(RC)}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}e^{t/(RC)}q=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{t/(RC)}.
O lado esquerdo é a derivada do produto q\,e^{t/(RC)}, então
\frac{d}{dt}\left(q\,e^{t/(RC)}\right)=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{t/(RC)}.
  1. Integramos ambos os lados em t:
q\,e^{t/(RC)}=\frac{\mathcal{E}}{R}\int e^{t/(RC)}dt + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  1. Calculando a integral:
\int e^{t/(RC)}dt = RC\,e^{t/(RC)}.
Portanto
q\,e^{t/(RC)}=\frac{\mathcal{E}}{R}\cdot RC\,e^{t/(RC)}+C_1=\mathcal{E}C\,e^{t/(RC)}+C_1.
  1. Isolando q(t):
q(t)=\mathcal{E}C + C_1 e^{-t/(RC)}.
  1. Aplicando a condição inicial \;q(0)=0:
0=\mathcal{E}C + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=-\mathcal{E}C.
Logo a solução para a carga é
q(t)=\mathcal{E}C\left(1-e^{-t/(RC)}\right).
Isto responde a parte b para q(t). Agora obtemos i(t) lembrando que i=\dfrac{dq}{dt}.

Passo 5

Calculando i(t) e reescrevendo em termos de \tau=RC (continuação da parte b):
Diferenciando q(t):
i(t)=\frac{dq}{dt}=\mathcal{E}C\cdot\frac{1}{RC}e^{-t/(RC)}=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/(RC)}.
Substituindo \tau=RC para deixar as soluções no formato solicitado:
q(t)=\mathcal{E}C\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/\tau}.
Comentários didáticos: a constante de tempo \tau=RC tem interpretação física — é o tempo característico em que as grandezas mudam. Por exemplo em t=\tau, q(\tau)=\mathcal{E}C(1-e^{-1})\approx0{,}63\,\mathcal{E}C e i(\tau)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-1}\approx0{,}37\,\dfrac{\mathcal{E}}{R}.

Passo 6

Limite quando t\to\infty e interpretação física — parte c:
Tomando o limite:
\lim_{t\to\infty} q(t)=\lim_{t\to\infty}\mathcal{E}C\left(1-e^{-t/\tau}\right)=\mathcal{E}C.
Interpretação física: no regime de longa duração o capacitor fica “completamente carregado” até uma carga tal que a tensão no capacitor v_C=q/C é igual à fem da fonte, isto é v_C(\infty)=\mathcal{E}. Nesse estado estacionário não há diferença de potencial sobrando para forçar corrente, portanto a corrente se anula: i(\infty)=0. Energeticamente, a energia armazenada no capacitor no final é \dfrac{1}{2}C\mathcal{E}^2 (apenas como comentário adicional).

Passo 7

Esboço/descrição dos gráficos q(t) e i(t) versus t — parte d:
  • Gráfico de q(t)=\mathcal{E}C\left(1-e^{-t/\tau}\right):
    • Começa em q(0)=0.
    • Cresce monotonamente e assintoticamente tende a q(\infty)=\mathcal{E}C.
    • Curva típica de subida exponencial com concavidade positiva inicial que vai achatando conforme se aproxima da assíntota.
    • Pontos úteis: q(\tau)=\mathcal{E}C(1-e^{-1})\approx0{,}632\mathcal{E}C.
  • Gráfico de i(t)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/\tau}:
    • Começa em i(0)=\dfrac{\mathcal{E}}{R} (corrente máxima imediatamente após fechar a chave).
    • Decai exponencialmente para zero quando t\to\infty.
    • Forma: decaimento exponencial (curva que desce rapidamente no início e depois se aproxima de zero).
    • Ponto útil: i(\tau)=\dfrac{\mathcal{E}}{R}e^{-1}\approx0{,}368\,\dfrac{\mathcal{E}}{R}.
Observação clara: i(t)=dq/dt, portanto a inclinação do gráfico de q(t) em cada instante é exatamente o valor de i(t).

Resposta

a) \displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\,q=\frac{\mathcal{E}}{R}.
b) \displaystyle q(t)=\mathcal{E}C\left(1-e^{-t/\tau}\right) \quad e \quad \displaystyle i(t)=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-t/\tau}, \quad com \tau=RC e t\ge0.
c) \displaystyle \lim_{t\to\infty}q(t)=\mathcal{E}C. Interpretação: o capacitor fica carregado com tensão v_C=\mathcal{E} e a corrente tende a zero (estado estacionário).
d) q(t): curva de subida exponencial de 0 até \mathcal{E}C (assíntota), com q(\tau)\approx0{,}632\,\mathcal{E}C. \;i(t): decaimento exponencial de \mathcal{E}/R até 0, com i(\tau)\approx0{,}368\,\mathcal{E}/R.

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