Considere o circuito série formado por uma fonte ideal de força eletromotriz constante
, um resistor
e um capacitor
. Num instante
fecha-se a chave, ligando a fonte ao circuito; antes de
, o capacitor está descarregado (
).
a) Escreva a equação diferencial que governa a carga
no capacitor usando a Lei de Kirchhoff das malhas.
b) Resolva a equação diferencial e obtenha explicitamente
e
para
. Expresse as soluções em termos da constante de tempo
.
c) Determine o valor limite de
quando
interprete fisicamente.
d) Esboce os gráficos
e
versus
.
a) Escreva a equação diferencial que governa a carga
b) Resolva a equação diferencial e obtenha explicitamente
c) Determine o valor limite de
d) Esboce os gráficos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
- Dado: circuito série formado por uma fonte ideal de fem constante
, um resistor e um capacitor . - Condição inicial: a chave fecha em
e antes disso o capacitor está descarregado, isto é . - O que é pedido:
a) Escrever a equação diferencial que governa a cargano capacitor usando a Lei de Kirchhoff das malhas.
b) Resolver a equação diferencial e obter explicitamentee para , expressando as soluções em termos da constante de tempo .
c) Determinar o valor limite dequando e interpretar fisicamente.
d) Esboçar/descrever os gráficos dee versus .
Passo 2
Escrevendo as relações fundamentais do circuito (a ideia é só listar as equações que conectam as grandezas, sem resolver ainda):
- Tensão no capacitor em função da carga:
Explicação rápida: um capacitor armazena carga
e a diferença de potencial entre suas placas é
.
- Corrente como derivada da carga:
Explicação rápida: corrente é taxa de variação da carga armazenada por unidade de tempo.
- Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas (soma algébrica das quedas de tensão ao redor da malha é zero). Percorrendo a malha no sentido da queda de tensão da fonte:
Agora substituímos
e
pelas expressões acima para obter a equação diferencial (esta é a resposta da parte a).
Passo 3
Derivando explicitamente a equação diferencial (resposta a):
Substituindo
e
em
obtemos
Rearranjando para a forma canônica de uma ODE de primeira ordem:
Esta é a equação diferencial linear de primeira ordem que governa
.
Passo 4
Resolvendo a ODE (método do fator integrante) — parte b, passo a passo didático:
A ODE tem a forma padrão
com
e
.
-
Calculamos o fator integrante
. -
Multiplicando a ODE por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, então
- Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
- Calculando a integral:
Portanto
- Isolando
:
- Aplicando a condição inicial
:
Logo a solução para a carga é
Isto responde a parte b para
. Agora obtemos
lembrando que
.
Passo 5
Calculando
e reescrevendo em termos de
(continuação da parte b):
Diferenciando
:
Substituindo
para deixar as soluções no formato solicitado:
Comentários didáticos: a constante de tempo
tem interpretação física — é o tempo característico em que as grandezas mudam. Por exemplo em
,
e
.
Passo 6
Limite quando
e interpretação física — parte c:
Tomando o limite:
Interpretação física: no regime de longa duração o capacitor fica “completamente carregado” até uma carga tal que a tensão no capacitor
é igual à fem da fonte, isto é
. Nesse estado estacionário não há diferença de potencial sobrando para forçar corrente, portanto a corrente se anula:
. Energeticamente, a energia armazenada no capacitor no final é
(apenas como comentário adicional).
Passo 7
Esboço/descrição dos gráficos
e
versus
— parte d:
-
Gráfico de
: - Começa em
. - Cresce monotonamente e assintoticamente tende a
. - Curva típica de subida exponencial com concavidade positiva inicial que vai achatando conforme se aproxima da assíntota.
- Pontos úteis:
.
- Começa em
-
Gráfico de
: - Começa em
(corrente máxima imediatamente após fechar a chave). - Decai exponencialmente para zero quando
. - Forma: decaimento exponencial (curva que desce rapidamente no início e depois se aproxima de zero).
- Ponto útil:
.
- Começa em
Observação clara:
, portanto a inclinação do gráfico de
em cada instante é exatamente o valor de
.
Resposta
a)
b)
\quad e \quad
\quad com
e
.
c)
Interpretação: o capacitor fica carregado com tensão
e a corrente tende a zero (estado estacionário).
d)
: curva de subida exponencial de
até
(assíntota), com
.
: decaimento exponencial de
até
, com
.