Questão 4. (8 pontos)
Calcule a integral definida \int_{e}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{e}^{e} \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
Informações importantes fornecidas:
  • Os limites de integração são iguais: o limite inferior é \,e\, e o limite superior também é \,e\,.
  • A função a integrar é \displaystyle \frac{\ln(x)}{x}, que está bem definida para \,x>0\, (e portanto em \,x=e\,).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar (explicada de forma direta): para qualquer função integrável \,f e qualquer ponto \,a,
\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Intuição por trás disso: a integral definida representa uma “área algébrica” sob a curva entre os limites. Se os limites coincidem, o intervalo tem largura zero, logo a área é zero. Formalmente, essa propriedade também decorre da aditividade da integral e da definição de integral definida.

Passo 3

Outra forma — mostrar pelo Teorema Fundamental do Cálculo — é encontrar uma primitiva de \displaystyle \frac{\ln(x)}{x}. Vamos achar F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}.
Considere a função
F(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{2}.
Vamos derivar F. Usando a regra da cadeia:
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\ln(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\ln(x)\cdot\frac{1}{x}=\frac{\ln(x)}{x}.
Portanto F é uma primitiva válida de \dfrac{\ln(x)}{x}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral:
\int_{e}^{e} \frac{\ln(x)}{x}\,dx = F(e)-F(e).
Como F(e)-F(e)=0 (qualquer número menos ele mesmo é zero), obtemos que a integral vale \,0.
Para ilustrar numericamente, note que
F(e)=\frac{(\ln e)^{2}}{2}=\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{2},
e \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.

Passo 5

Resumo e reforço: independentemente da primitiva que encontrarmos, a propriedade geral já garante que qualquer integral definida com limites iguais dá zero. Por exemplo, também é verdade que
\int_{2}^{2} x^{2}\,dx = 0,
assim como a integral do enunciado.

Resposta

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