Questão 4. (8 pontos)
Calcule a integral definida
.
Calcule a integral definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes fornecidas:
- Os limites de integração são iguais: o limite inferior é
e o limite superior também é . - A função a integrar é
, que está bem definida para (e portanto em ). - A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar (explicada de forma direta): para qualquer função integrável
e qualquer ponto
,
Intuição por trás disso: a integral definida representa uma “área algébrica” sob a curva entre os limites. Se os limites coincidem, o intervalo tem largura zero, logo a área é zero. Formalmente, essa propriedade também decorre da aditividade da integral e da definição de integral definida.
Passo 3
Outra forma — mostrar pelo Teorema Fundamental do Cálculo — é encontrar uma primitiva de
. Vamos achar
tal que
.
Considere a função
Vamos derivar
. Usando a regra da cadeia:
Portanto
é uma primitiva válida de
.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral:
Como
(qualquer número menos ele mesmo é zero), obtemos que a integral vale
.
Para ilustrar numericamente, note que
e
.
Passo 5
Resumo e reforço: independentemente da primitiva que encontrarmos, a propriedade geral já garante que qualquer integral definida com limites iguais dá zero. Por exemplo, também é verdade que
assim como a integral do enunciado.