Considere o circuito RC em série (associação de resitor e capacitor em série). Explique o funcionamento do circuito, descrevendo como a resistência R poderia ser comparada (e entendida) em um circuito real. Realize também a descrição matemática do circuito, evidenciando a carga máxima obtida pelo capacitor quando o tempo de carga é igual à constante de tempo do circuito.

Passo 1

Então, o exercício tá pedindo pra gente analisar um circuito RC em série (ou seja, um resistor R e um capacitor C ligados em série a uma fonte de tensão), explicar como ele funciona, mostrar como interpretar esse R num circuito real e fazer a descrição matemática até achar a carga do capacitor quando o tempo de carga for igual à constante de tempo τ=RC.
Conteúdo: teoria de circuitos RC, leis de Kirchhoff, equação diferencial de carga de capacitor.
O que a gente precisa:
  • Entender qualitativamente o que rola num RC em série.
  • Saber que a equação vem de Vfonte = VR + VC.
  • Resolver a equação diferencial para Q(t).
  • Calcular Q(τ).

Passo 2

Como é que o circuito funciona? Imagina que, no instante em que liga a fonte (t=0), o capacitor está descarregado (Q=0). A corrente começa a fluir, passando pelo resistor R e “empurrando” carga pro capacitor. Logo que a carga do capacitor aumenta, a tensão nele (VC=Q/C) cresce, diminuindo a tensão restante no resistor (VR). Esse processo faz a corrente ir caindo com o tempo, até que o capacitor atinja a carga máxima Qmax = C·E (E é a tensão da fonte) e a corrente zera.

Passo 3

Como entender esse R num circuito real? No mundo real, você nunca tem fios perfeitos:
  • A própria resistência do fio e das trilhas na placa contam como R.
  • O gerador (bateria, fonte) tem uma resistência interna.
  • Se você quiser desacelerar ou acelerar a carga do capacitor, normalmente adiciona um resistor “de propósito” para controlar a rapidez do processo.
Então, R é a “barreira” que limita a intensidade e a velocidade da carga/descarga.

Passo 4

Agora a parte matemática. Pela 2ª lei de Kirchhoff:
E = V_R + V_C
E = R·i(t) + Q(t)/C
E como i(t) = dQ/dt, fica:
E = R·(dQ/dt) + Q/C
Reorganizando em forma de equação diferencial padrão:
dQ/dt + (1/RC)·Q = E/R
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem. A solução, com Q(0)=0, é:
Q(t) = C,E;l(1 - e^-t/(RC)r)
Aqui, CE é a carga máxima (Qmax) que o capacitor poderia atingir se esperássemos tempo infinito.

Passo 5

A constante de tempo do circuito é
tau = R,C
Ela diz “em quanto tempo” o circuito atinge aproximadamente 63,2 % da carga total. Vamos ver isso: substitui t = τ na fórmula de Q(t):
Q(tau) = C,E,l(1 - e^-tau/(RC)r) = C,E,l(1 - e^-1r)
Como Q(tau) approx C,E,(1 - 0,368) = 0,632,C,E , temos

Resposta

A carga do capacitor no instante igual à constante de tempo (t=τ=RC) é
boxedQ(tau) = C,E;l(1 - e^-1r) approx 0,632,C,E

Exercícios relacionados