Considere o circuito RC em série (associação de resitor e capacitor em série). Explique o funcionamento do circuito, descrevendo como a resistência
poderia ser comparada (e entendida) em um circuito real. Realize também a descrição matemática do circuito, evidenciando a carga máxima obtida pelo capacitor quando o tempo de carga é igual à constante de tempo do circuito.
Passo 1
Então, o exercício tá pedindo pra gente analisar um circuito RC em série (ou seja, um resistor R e um capacitor C ligados em série a uma fonte de tensão), explicar como ele funciona, mostrar como interpretar esse R num circuito real e fazer a descrição matemática até achar a carga do capacitor quando o tempo de carga for igual à constante de tempo τ=RC.
Conteúdo: teoria de circuitos RC, leis de Kirchhoff, equação diferencial de carga de capacitor.
O que a gente precisa:
- Entender qualitativamente o que rola num RC em série.
- Saber que a equação vem de Vfonte = VR + VC.
- Resolver a equação diferencial para Q(t).
- Calcular Q(τ).
Passo 2
Como é que o circuito funciona? Imagina que, no instante em que liga a fonte (t=0), o capacitor está descarregado (Q=0). A corrente começa a fluir, passando pelo resistor R e “empurrando” carga pro capacitor. Logo que a carga do capacitor aumenta, a tensão nele (VC=Q/C) cresce, diminuindo a tensão restante no resistor (VR). Esse processo faz a corrente ir caindo com o tempo, até que o capacitor atinja a carga máxima Qmax = C·E (E é a tensão da fonte) e a corrente zera.
Passo 3
Como entender esse R num circuito real? No mundo real, você nunca tem fios perfeitos:
- A própria resistência do fio e das trilhas na placa contam como R.
- O gerador (bateria, fonte) tem uma resistência interna.
- Se você quiser desacelerar ou acelerar a carga do capacitor, normalmente adiciona um resistor “de propósito” para controlar a rapidez do processo.
Então, R é a “barreira” que limita a intensidade e a velocidade da carga/descarga.
Passo 4
Agora a parte matemática. Pela 2ª lei de Kirchhoff:
E = V_R + V_C
E = R·i(t) + Q(t)/C
E = V_R + V_C
E = R·i(t) + Q(t)/C
E como i(t) = dQ/dt, fica:
E = R·(dQ/dt) + Q/C
E = R·(dQ/dt) + Q/C
Reorganizando em forma de equação diferencial padrão:
dQ/dt + (1/RC)·Q = E/R
dQ/dt + (1/RC)·Q = E/R
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem. A solução, com Q(0)=0, é:
Aqui, CE é a carga máxima (Qmax) que o capacitor poderia atingir se esperássemos tempo infinito.
Passo 5
A constante de tempo do circuito é
Ela diz “em quanto tempo” o circuito atinge aproximadamente 63,2 % da carga total. Vamos ver isso: substitui t = τ na fórmula de Q(t):
Como
, temos
Resposta
A carga do capacitor no instante igual à constante de tempo (t=τ=RC) é