Uma particula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação
s=2 t^3-4 t^2+2 t-1
Determine os intervalos de tempo nos quais a partícula se move para a direita e para esquerda. Determine tambem o instante no qual ela inverte o seu sentido.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que uma partícula se move sob a lei
s(t)=2t^3-4t^2+2t-1
e pede para descobrir quando ela está indo para a direita (velocidade positiva), quando vai para a esquerda (velocidade negativa) e em que instantes ela muda de sentido.
Conteúdo: movimento retilíneo e derivadas (a velocidade é a derivada da posição).
O que precisamos:
  1. Calcular .
  2. Achar as raízes de .
  3. Fazer estudo de sinal de .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que em movimento retilíneo a velocidade é
v(t)=dsdt
Então derivamos
s(t)=2t^3-4t^2+2t-1
termos a termos:
v(t) =ddt(2t^3)-ddt(4t^2)+ddt(2t)-ddt(1) =6t^2-8t+2

Passo 3

Agora resolvemos 6t^2-8t+2=0 :
3t^2-4t+1=0
Divide tudo por 2:
t=4pmraiz42cdot3 =4pm26 ;Longrightarrow; t1=4-26=13, t2=4+26=1
Usamos a fórmula de Bhaskara, onde .
Então

Passo 4

Para saber onde é positiva ou negativa, lembramos que é um polinômio do 2º grau com coeficiente principal positivo (6). Então:
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .
Interpretação física:
  • v>0 → partícula se move para a direita.
  • v<0 → partícula se move para a esquerda.
  • v=0 nos instantes e são as inversões de sentido.

Resposta

Intervalo de movimento para a direita:
0<= t1
Intervalo de movimento para a esquerda:
tfrac13
Instantes de inversão de sentido:
t=tfrac13e t=1

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