Desenvolva a expressão para o cálculo da capacitância de uma capacitor esférico e avalie a expressão para o caso de uma esfera isolada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitância de um capacitor esférico. O que a gente precisa aqui é entender como calcular a capacitância quando temos duas esferas concêntricas e também quando temos uma esfera isolada. Pra isso, vamos usar conceitos básicos de eletrostática, como carga elétrica, potencial elétrico e a definição de capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que capacitância © é uma medida de quanto carga elétrica (Q) um capacitor consegue armazenar por unidade de potencial elétrico (V). A fórmula básica é:
C = QV

Passo 3

Agora, vamos pensar no capacitor esférico. Imagine duas esferas concêntricas: uma menor de raio $ r_1 $ e outra maior de raio $ r_2 $. A esfera interna tem carga $ +Q $ e a externa tem carga $ -Q $. A diferença de potencial entre elas será o $ V $ que usamos na fórmula da capacitância.

Passo 4

Para achar o potencial $ V $, precisamos calcular o potencial elétrico gerado pela carga $ Q $ na esfera interna no ponto da esfera externa. O potencial devido a uma carga pontual (ou a uma esfera carregada uniformemente) a uma distância $ r $ é dado por:
V
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 5

A diferença de potencial entre as duas esferas é:
V = 14piepsilon0 cdot Qr1 - 14piepsilon0 cdot Qr2 = Q4piepsilon0 ( 1r1 - 1r2 )

Passo 6

Agora, usando a definição de capacitância:
C = QV = QQ4piepsilon0 ( 1r1 - 1r2 ) = 4piepsilon0( 1r1 - 1r2 )
Simplificando a fração:
C = 4piepsilon0 cdot r1 r2r2 - r1

Passo 7

Esse é o resultado geral para a capacitância de um capacitor esférico com duas esferas de raios $ r_1 $ e $ r_2 $. Mas o exercício pede também para avaliar a expressão para uma esfera isolada.

Passo 8

Uma esfera isolada pode ser pensada como um capacitor esférico onde a segunda “esfera” está a uma distância infinita ($ r_2 \to \infty $). Vamos substituir $ r_2 $ por infinito na expressão da capacitância:
r2 to infty
Simplificando, já que $ \frac{r_1}{\infty} $ tende a zero, fica:
r2

Resposta

A capacitância de um capacitor esférico é dada por:
C = 4piepsilon0 cdot r1 r2r2 - r1
Para uma esfera isolada, a capacitância é:
C = 4piepsilon0 r
Onde $ r $ é o raio da esfera isolada.

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