Desenvolva a expressão para o cálculo da capacitância de uma capacitor esférico e avalie a expressão para o caso de uma esfera isolada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre capacitância de um capacitor esférico. O que a gente precisa aqui é entender como calcular a capacitância quando temos duas esferas concêntricas e também quando temos uma esfera isolada. Pra isso, vamos usar conceitos básicos de eletrostática, como carga elétrica, potencial elétrico e a definição de capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que capacitância © é uma medida de quanto carga elétrica (Q) um capacitor consegue armazenar por unidade de potencial elétrico (V). A fórmula básica é:
Passo 3
Agora, vamos pensar no capacitor esférico. Imagine duas esferas concêntricas: uma menor de raio $ r_1 $ e outra maior de raio $ r_2 $. A esfera interna tem carga $ +Q $ e a externa tem carga $ -Q $. A diferença de potencial entre elas será o $ V $ que usamos na fórmula da capacitância.
Passo 4
Para achar o potencial $ V $, precisamos calcular o potencial elétrico gerado pela carga $ Q $ na esfera interna no ponto da esfera externa. O potencial devido a uma carga pontual (ou a uma esfera carregada uniformemente) a uma distância $ r $ é dado por:
Onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
A diferença de potencial entre as duas esferas é:
Passo 6
Agora, usando a definição de capacitância:
Simplificando a fração:
Passo 7
Esse é o resultado geral para a capacitância de um capacitor esférico com duas esferas de raios $ r_1 $ e $ r_2 $. Mas o exercício pede também para avaliar a expressão para uma esfera isolada.
Passo 8
Uma esfera isolada pode ser pensada como um capacitor esférico onde a segunda “esfera” está a uma distância infinita ($ r_2 \to \infty $). Vamos substituir $ r_2 $ por infinito na expressão da capacitância:
Simplificando, já que $ \frac{r_1}{\infty} $ tende a zero, fica:
Resposta
A capacitância de um capacitor esférico é dada por:
Para uma esfera isolada, a capacitância é:
Onde $ r $ é o raio da esfera isolada.