Considere um circuito de resistência variável
ligado a uma bateria de voltagem
e resistência interna
. Suponha que a força resultante
seja dada por
, em que a corrente
no circuito é dada por
. Nesse caso,
é uma função de
, definida no intervalo
. Suponha ainda
e
.
a) Determinar os pontos críticos da função
.
b) Determinar os intervalos em que
é crescente e decrescente.
c) Esboçar o gráfico de
.
d) Determinar os pontos de máximo e mínimo locais e os de máximo e mínimo absoluto da função
.
a) Determinar os pontos críticos da função
b) Determinar os intervalos em que
c) Esboçar o gráfico de
d) Determinar os pontos de máximo e mínimo locais e os de máximo e mínimo absoluto da função
Passo 1
O enunciado define a potência como
onde a corrente é
Com
e
, temos
função de
em
. Vamos achar pontos críticos, estudar monotonia, esboçar o gráfico e classificar extremos.
Passo 2
Calculamos a derivada de
Seja
. Então
Logo
Passo 3
Pontos críticos são soluções de
no domínio. Como
para todo
, impomos
Não há pontos onde
fique indefinida em
.
Passo 4
O sinal de
é dado por
porque o denominador é sempre positivo. Assim
Portanto
é crescente em
e decrescente em
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico basta notar:
-
. - No ponto crítico
,
- Quando
,
Logo o gráfico sobe de
até
e depois decresce assintoticamente a zero.
Passo 6
Em
temos
e mudança de crescente para decrescente, logo é máximo local. Não há mínimo local interior. Considerando extremos absolutos em
:
– Valor mínimo absoluto é .
– Valor máximo absoluto é .
– Valor mínimo absoluto é
– Valor máximo absoluto é
Resposta
a) O único ponto crítico em
é
.
b) é crescente em
e decrescente em
.
c) Gráfico: parte de , atinge pico em
, depois decresce assintoticamente a zero.
d) Máximo local e máximo absoluto em com
. Mínimo absoluto em
com
. Não há mínimo local interior.
b)
c) Gráfico: parte de
d) Máximo local e máximo absoluto em