Considere um circuito de resistência variável R ligado a uma bateria de voltagem V e resistência interna r. Suponha que a força resultante P seja dada por P=I^2 R, em que a corrente I no circuito é dada por I=V /(R+r). Nesse caso, P é uma função de R, definida no intervalo [0, infty). Suponha ainda V=12 e r=1.
a) Determinar os pontos críticos da função P.
b) Determinar os intervalos em que P é crescente e decrescente.
c) Esboçar o gráfico de P.
d) Determinar os pontos de máximo e mínimo locais e os de máximo e mínimo absoluto da função P.

Passo 1

O enunciado define a potência como
P(R)=I^2,R,
onde a corrente é
I=VR+r
Com V=12 e r=1, temos
P(R)=12^2,R(R+1)^2=144,R(R+1)^2,
função de R em [0,infty). Vamos achar pontos críticos, estudar monotonia, esboçar o gráfico e classificar extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de
P(R)=144,R(R+1)^2
Seja f(R)=dfracR(R+1)^2. Então
f'(R)=(R+1)^2 -2R(R+1)(R+1)^4 =R+1-2R(R+1)^3 =1-R(R+1)^3
Logo
P'(R)=144,f'(R)=144,1-R(R+1)^3

Passo 3

Pontos críticos são soluções de P'(R)=0 no domínio. Como (R+1)^3>0 para todo R>=0, impomos
1-R=0Longrightarrow R=1
Não há pontos onde P' fique indefinida em [0,infty).

Passo 4

O sinal de P'(R) é dado por sgn(1-R) porque o denominador é sempre positivo. Assim
P'(R)>0se R<1, P'(R)<0se R>1
Portanto P é crescente em [0,1) e decrescente em (1,infty).

Passo 5

Para esboçar o gráfico basta notar:
  1. P(0)=0.
  2. No ponto crítico R=1,
P(1)=144cdot1(1+1)^2=1444=36
  1. Quando Rtoinfty,
P(R)sim 144,RR^2=144Rto0
Logo o gráfico sobe de (0,0) até (1,36) e depois decresce assintoticamente a zero.

Passo 6

Em R=1 temos P'=0 e mudança de crescente para decrescente, logo é máximo local. Não há mínimo local interior. Considerando extremos absolutos em [0,infty):
– Valor mínimo absoluto é P(0)=0.
– Valor máximo absoluto é P(1)=36.

Resposta

a) O único ponto crítico em [0,infty) é R=1.
b) P é crescente em [0,1) e decrescente em (1,infty).
c) Gráfico: parte de (0,0), atinge pico em (1,36), depois decresce assintoticamente a zero.
d) Máximo local e máximo absoluto em R=1 com P(1)=36. Mínimo absoluto em R=0 com P(0)=0. Não há mínimo local interior.

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