Questão:(25 pontos) A função
tem como descomposição em frações parcias a expresão
, onde
e
são constantes.
(A) (10 pontos) Determine as constantes
e
.
(B) (15 pontos) Calcular a integral
(A) (10 pontos) Determine as constantes
(B) (15 pontos) Calcular a integral
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que ela se escreve em frações parciais como
onde
,
e
são constantes. Para resolver a parte (A) vamos usar o método de multiplicar tudo pelo denominador comum e igualar coeficientes de polinômio. Para a parte (B) integraremos cada termo simples resultante.
Passo 2
Multiplicamos a identidade
pelo denominador comum
. Assim obtemos a igualdade de polinômios
Passo 3
Expandindo o lado direito:
Somando tudo:
Igualando coeficientes com
Da terceira equação vem
Da primeira, dá
Passo 4
Agora escrevemos
e integramos termo a termo:
Passo 5
Substituindo
,
e
, a integral fica
ou seja
Resposta
(A)
(B)