3^a Questão:(25 pontos) A função f(x)=x-5x(x-3)^2 tem como descomposição em frações parcias a expresão Ax+ Bx-3+C(x-3)^2, onde A, B e C são constantes.
(A) (10 pontos) Determine as constantes A, B e C.
(B) (15 pontos) Calcular a integral
integral x-5x(x-3)^2 d x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x-5x,(x-3)^2
e diz que ela se escreve em frações parciais como
x-5x,(x-3)^2=Ax+Bx-3+C(x-3)^2,
onde A, B e C são constantes. Para resolver a parte (A) vamos usar o método de multiplicar tudo pelo denominador comum e igualar coeficientes de polinômio. Para a parte (B) integraremos cada termo simples resultante.

Passo 2

Multiplicamos a identidade
x-5x,(x-3)^2=Ax+Bx-3+C(x-3)^2
pelo denominador comum x,(x-3)^2. Assim obtemos a igualdade de polinômios
x-5 = A,(x-3)^2+B,x,(x-3)+C,x

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Somando tudo:
Igualando coeficientes com
Da terceira equação vem
Da primeira,

Passo 4

Agora escrevemos
x-5x,(x-3)^2 =-5/9x+5/9x-3-2/3(x-3)^2
e integramos termo a termo:
integralAx,dx =Alnlvert xrvert, integralBx-3,dx =Blnlvert x-3rvert, integralC(x-3)^2,dx =Cintegral(x-3)^-2dx =-Cx-3

Passo 5

Substituindo A=-tfrac59, B=tfrac59 e C=-tfrac23, a integral fica
integralx-5x,(x-3)^2,dx =-59lnlvert xrvert +59lnlvert x-3rvert -l(-23r)1x-3 +C,
ou seja
-59lnlvert xrvert +59lnlvert x-3rvert +23(x-3) + C

Resposta

(A) A=-59, B=59, C=-23
(B) integralx-5x,(x-3)^2,dx =-59lnlvert xrvert +59lnlvert x-3rvert +23(x-3)+C

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