Considere um circuito RL onde o resistor R=10 ohms, o indutor L=3 henries, e a tensão V=50 volts. A corrente i(t) obedece à equação diferencial dada pela lei de Kirchhoff:
3 d id t+10 i=50
Encontre a corrente i(t) sabendo que a condição inicial é i(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RL com um resistor de 10 ohms, um indutor de 3 henries e uma tensão de 50 volts. A corrente nesse circuito, que chamaremos de i(t) , segue uma equação diferencial determinada pela lei de Kirchhoff:
3 d id t + 10 i = 50
Vamos resolver essa equação para encontrar i(t) , sabendo que inicialmente, quando t = 0 , a corrente é zero ( i(0) = 0 ). Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais simples:
d id t + 103 i = 503
Aqui, dividimos todos os termos por 3 para deixar a equação no padrão d id t + P(t)i = Q(t) .

Passo 3

Agora, vamos identificar os termos P(t) e Q(t) :
P(t) = 103, Q(t) = 503
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(t) , que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 103 dt = e^103 t
Esse fator nos ajuda a simplificar a equação diferencial para integrarmos facilmente.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^103 t cdot d id t + e^103 t cdot 103 i = e^103 t cdot 503
Isso transforma a equação em:
ddt ( e^103 t i ) = 503 e^103 t

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt ( e^103 t i ) dt = integral 503 e^103 t dt
Isso resulta em:
e^103 t i = 503 cdot 310 e^103 t + C
Simplificando:
e^103 t i = 5 e^103 t + C

Passo 7

Para isolar i(t) , dividimos ambos os lados por e^103 t :
i(t) = 5 + C e^-103 t
Aqui, C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial i(0) = 0 para encontrar C :
0 = 5 + C e^0 Rightarrow 0 = 5 + C Rightarrow C = -5
Então, substituindo C na equação de i(t) :

Resposta

i(t) = 5 ( 1 - e^-103 t ) amperes

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