Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pela curva y=sen^2(x), pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=pi.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região limitada por y=sen^2(x), pelo eixo x, e pelas retas x=0 e x=pi. O conteúdo é o método dos discos e vamos precisar de uma identidade trigonométrica para integrar sen^4(x).

Passo 2

Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x tem raio y=sen^2(x) e área pil(sen^2(x)r)^2. Assim o volume é
V = pi integral0^pi l(sen^2(x)r)^2 ,dx

Passo 3

Simplificamos o integrando:
l(sen^2(x)r)^2 = sen^4(x),
logo
V = pi integral0^pi sen^4(x),dx

Passo 4

Usamos a identidade de redução
sen^4(x) = l(sen^2(x)r)^2 = (1-cos(2x)2)^!2 = 1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)4
E aplicamos cos^2(2x)=tfrac1+cos(4x)2, obtendo
sen^4(x) = 1 - 2cos(2x) + tfrac1+cos(4x)24 = 3 - 4cos(2x) + cos(4x)8

Passo 5

Substituindo em V:
V = pi integral0^pi 3 - 4cos(2x) + cos(4x)8,dx = pi8l[ 3!integral0^pidx -4!integral0^picos(2x),dx +!integral0^picos(4x),dx r]

Passo 6

Calculemos cada integral:
integral0^pidx = pi, integral0^picos(2x),dx = sen(2x)2|0^pi=0, integral0^picos(4x),dx = sen(4x)4|0^pi=0
Portanto
integral0^pisen^4(x),dx = 18l(3pi - 4cdot 0 + 0r) = 3pi8

Passo 7

Voltando a V:
V = pi times 3pi8 = 3pi^28

Resposta

3pi^28

Exercícios relacionados