Considere um circuito RL em paralelo. Use uma análise por diagrama fasorial para obter expressòes para as correntes de pico In e ll. Complete a análise fasorial obtendo uma expressão para a corrente I de pico na fonte de fem.

Passo 1

O enunciado pede o seguinte e dá implicitamente um circuito RL em paralelo alimentado por uma fonte senoidal. Vou explicitar as hipóteses e definir símbolos (pegue isto como a informação que o exercício fornece):
  • Há uma fonte de tensão senoidal v(t)=V_{m}\cos(\omega t), onde V_{m} é a amplitude (fem de pico) e \omega é a pulsação angular.
  • O circuito tem dois ramos em paralelo: um resistor R e um indutor L.
  • O problema pede:
    1. obter expressões para as correntes de pico nos ramos (vou chamar de I_{n} e I_{l}; na solução vou definir exatamente qual é cada um);
    2. completar a análise fasorial e obter uma expressão para a corrente de pico na fonte, I.
  • Vou trabalhar em fasores usando amplitudes de pico (não RMS). Definições que vou usar depois estão listadas nos próximos passos.

Passo 2

Breve aula sobre fasores e impedâncias (passo necessário para entender a resolução).
  • Um sinal v(t)=V_{m}\cos(\omega t) é representado pelo fasor de pico \tilde{V}=V_{m}\angle 0. O fasor é um número complexo que representa amplitude e fase.
  • Impedâncias: para um resistor vale
Z_{R}=R,
para um indutor vale
Z_{L}=j\omega L,
onde j é a unidade imaginária e \omega é a pulsação. Essas impedâncias relacionam fasores de tensão e corrente por \tilde{V}=\tilde{I}\,Z.
  • Regra prática (importante): a corrente num resistor está em fase com a tensão; a corrente num indutor atrasa a tensão em 90^\circ (ou seja, a corrente do indutor é -90^\circ em relação à tensão).

Passo 3

Obter as correntes de pico nos ramos (definições claras).
  • Vou definir I_{n} como a corrente de pico no ramo resistivo (ramo com R).
  • Vou definir I_{l} como a corrente de pico no ramo indutivo (ramo com L).
    Usando fasores de pico e a lei de Ohm em cada ramo:
\tilde{I}_{n}=\frac{\tilde{V}}{Z_{R}}=\frac{V_{m}\angle 0}{R}= \frac{V_{m}}{R}\angle 0.
\tilde{I}_{l}=\frac{\tilde{V}}{Z_{L}}=\frac{V_{m}\angle 0}{j\omega L}= \frac{V_{m}}{\omega L}\angle -90^\circ.
Agora as amplitudes (valores de pico) já se extraem:
I_{n}=\frac{V_{m}}{R}, \qquad I_{l}=\frac{V_{m}}{\omega L}.
Aqui I_{n} e I_{l} são os módulos (amplitudes) das correntes de pico nos ramos resistor e indutor, respectivamente.

Passo 4

Interpretação geométrica (diagrama fasorial) e soma vetorial.
  • No diagrama fasorial: \tilde{I}_{n} é um vetor real positivo (ângulo 0^\circ); \tilde{I}_{l} é um vetor puramente imaginário negativo (ângulo -90^\circ). A corrente total da fonte, em fasor, é a soma:
\tilde{I}=\tilde{I}_{n}+\tilde{I}_{l}= \frac{V_{m}}{R}\angle 0 \;+\; \frac{V_{m}}{\omega L}\angle -90^\circ.
Escrevendo em forma retangular (componentes real e imag.):
\tilde{I}=\frac{V_{m}}{R} - j\frac{V_{m}}{\omega L}.

Passo 5

Magnitude e fase da corrente de pico na fonte (fórmula final).
  • A magnitude (amplitude de pico) da corrente de fonte é o módulo do fasor \tilde{I}:
I=|\tilde{I}|=\sqrt{\left(\frac{V_{m}}{R}\right)^{2}+\left(\frac{V_{m}}{\omega L}\right)^{2}}.
Fatorando V_{m}:
I=V_{m}\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{1}{(\omega L)^{2}}}.
  • A fase da corrente em relação à tensão (útil para completar a análise fasorial) é
\angle \tilde{I}=\arctan\!\left(\frac{\Im(\tilde{I})}{\Re(\tilde{I})}\right)=\arctan\!\left(\frac{-\,\dfrac{V_{m}}{\omega L}}{\dfrac{V_{m}}{R}}\right) = -\arctan\!\left(\dfrac{R}{\omega L}\right).
Ou seja, \tilde{I}=I\angle\bigl(-\arctan(R/(\omega L))\bigr).

Passo 6

Verificação alternativa (impedância equivalente) — curto comentário para fechar a intuição.
  • A impedância equivalente do paralelo R\parallel j\omega L é
Z_{\text{eq}}=\frac{R\cdot j\omega L}{R+j\omega L},
e a corrente de pico da fonte pode ser escrita como I=V_{m}/|Z_{\text{eq}}|. Fazendo as contas este módulo leva exatamente à mesma expressão encontrada acima para I, então a soma fasorial e o método de impedância equivalente concordam.

Resposta

I_{n}=\frac{V_{m}}{R}
I_{l}=\frac{V_{m}}{\omega L}
I=V_{m}\sqrt{\frac{1}{R^{2}}+\frac{1}{(\omega L)^{2}}},\qquad \angle \tilde{I}=-\arctan\!\left(\frac{R}{\omega L}\right)

Exercícios relacionados