Questão 02 (valor: 1.0 pontos) (a) Com a lei de Gauss encontre o campo elétrico dentro e fora de uma esfera condutora carregada; (b) Com o campo elétrico obtido em a) calcule o potencial elétrico dentro e fora da mesma esfera condutora.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre uma esfera condutora de raio \,R\, que carrega carga total \,Q\,:
(a) determinar o campo elétrico \mathbf{E} dentro e fora da esfera;
(b) determinar o potencial elétrico V dentro e fora da esfera.
Informações e hipóteses que vamos usar (tudo dado ou padrão para este tipo de problema):
A esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático.
A carga total da esfera é \,Q\,.
O raio da esfera é \,R\,.
Escolhemos a referência do potencial tal que V(\infty)=0.
Notação: r é a distância ao centro da esfera; \hat{r} é o versor radial; \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
Passo 2
Relembrando a Lei de Gauss (fórmula e o que cada termo significa):
\oint_{\mathcal{S}} é a integral de superfície sobre uma superfície fechada \mathcal{S};
\mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície;
d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área do elemento, direção normal à superfície, apontando para fora);
Q_{\rm int} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal{S};
\varepsilon_0 é uma constante (permitividade do vácuo).
Para usar a lei de Gauss escolhemos uma superfície gaussiana que respeite a simetria do problema: uma esfera centrada no mesmo centro da esfera condutora. Por simetria, em qualquer superfície esférica concêntrica o campo (se existir) será radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície, o que simplifica a integral.
Passo 3
Caso externo: r>R.
Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio r (> R). Pela simetria o campo é radial e constante em módulo sobre essa superfície: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
O fluxo é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
A carga interna à superfície é a carga total da esfera: Q_{\rm int}=Q.
Aplicando Gauss:
E(r)\;4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Resolvendo para E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.
Direção: radial (para fora se Q>0, para dentro se Q<0). Em forma vetorial:
Caso interno: r<R (pontos no interior do condutor, dentro do metal).
Do conhecimento físico de condutores em equilíbrio eletrostático: toda carga livre reside na superfície externa do condutor e o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Podemos também ver isso com Gauss:
Escolha uma superfície gaussiana esférica de raio r<R inteiramente dentro do metal condutor.
A carga contida por essa superfície é Q_{\rm int}=0 porque a carga livre está na superfície externa (dado do comportamento de condutores em equilíbrio).
Aplicando Gauss:
consistente com a forma de potencial de uma carga pontual Q localizada no centro.
Passo 8
Potencial para r\le R (dentro da esfera condutora):
Já sabemos que o campo elétrico no interior é nulo: E_r=0 para r<R. Como -dV/dr = E_r =0, isso implica que V é constante em todo o interior do condutor. O valor dessa constante é o potencial na superfície r=R. Assim:
V(r)=V(R),\qquad r\le R.
Calculamos V(R) a partir da expressão externa (fazendo r\to R na expressão de fora):
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}.
Portanto
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R},\qquad r\le R.
Observação: o potencial é contínuo na superfície (não tem salto) e sua derivada radial tem descontinuidade relacionada à densidade superficial de carga, mas aqui não precisamos desse detalhe para a resposta.