Questão 02 (valor: 1.0 pontos) (a) Com a lei de Gauss encontre o campo elétrico dentro e fora de uma esfera condutora carregada; (b) Com o campo elétrico obtido em a) calcule o potencial elétrico dentro e fora da mesma esfera condutora.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre uma esfera condutora de raio \,R\, que carrega carga total \,Q\,:
  • (a) determinar o campo elétrico \mathbf{E} dentro e fora da esfera;
  • (b) determinar o potencial elétrico V dentro e fora da esfera.
Informações e hipóteses que vamos usar (tudo dado ou padrão para este tipo de problema):
  • A esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático.
  • A carga total da esfera é \,Q\,.
  • O raio da esfera é \,R\,.
  • Escolhemos a referência do potencial tal que V(\infty)=0.
  • Notação: r é a distância ao centro da esfera; \hat{r} é o versor radial; \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.

Passo 2

Relembrando a Lei de Gauss (fórmula e o que cada termo significa):
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \oint_{\mathcal{S}} é a integral de superfície sobre uma superfície fechada \mathcal{S};
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície;
  • d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área do elemento, direção normal à superfície, apontando para fora);
  • Q_{\rm int} é a carga total contida dentro da superfície \mathcal{S};
  • \varepsilon_0 é uma constante (permitividade do vácuo).
Para usar a lei de Gauss escolhemos uma superfície gaussiana que respeite a simetria do problema: uma esfera centrada no mesmo centro da esfera condutora. Por simetria, em qualquer superfície esférica concêntrica o campo (se existir) será radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície, o que simplifica a integral.

Passo 3

Caso externo: r>R.
  • Escolho uma superfície gaussiana esférica de raio r (> R). Pela simetria o campo é radial e constante em módulo sobre essa superfície: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{r}.
  • O fluxo é \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.
  • A carga interna à superfície é a carga total da esfera: Q_{\rm int}=Q.
    Aplicando Gauss:
E(r)\;4\pi r^2=\frac{Q}{\varepsilon_0}.
Resolvendo para E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.
Direção: radial (para fora se Q>0, para dentro se Q<0). Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r},\qquad r>R.

Passo 4

Caso interno: r<R (pontos no interior do condutor, dentro do metal).
Do conhecimento físico de condutores em equilíbrio eletrostático: toda carga livre reside na superfície externa do condutor e o campo elétrico dentro do material condutor é nulo. Podemos também ver isso com Gauss:
  • Escolha uma superfície gaussiana esférica de raio r<R inteiramente dentro do metal condutor.
  • A carga contida por essa superfície é Q_{\rm int}=0 porque a carga livre está na superfície externa (dado do comportamento de condutores em equilíbrio).
    Aplicando Gauss:
E(r)\;4\pi r^2=\frac{0}{\varepsilon_0}=0 \quad\Rightarrow\quad E(r)=0.
Portanto
\mathbf{E}(r)=\mathbf{0},\qquad r<R.
(Física-intuitiva: se houvesse campo dentro, cargas se moveriam até anular esse campo; em equilíbrio o campo interno vale zero.)

Passo 5

Resumo dos resultados do campo (para fixar):
\mathbf{E}(r)=\begin{cases} \mathbf{0}, & r<R,\\[6pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\,\hat{r}, & r>R. \end{cases}]

Passo 6

Agora vamos ao potencial elétrico. Relação entre campo e potencial (definição):
\mathbf{E}=-\nabla V,
ou, em termos escalares para condições radiais,
E_r(r)=-\dfrac{dV}{dr},
onde E_r(r) é a componente radial de \mathbf{E}. Para obter V(r) usamos integração a partir da referência V(\infty)=0:
V(r)-V(\infty)=-\int_{\infty}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Em trajetória radial \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E_r(r')\,dr'.

Passo 7

Potencial para r>R:
Usamos \mathbf{E}(r')=(1/4\pi\varepsilon_0)\,Q/{r'^2}\,\hat{r}. Então
V(r)-0=-\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r'^2}\,dr'.
Calcule a integral:
V(r)=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r'}\right]_{r'=\infty}^{r' = r} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}.
Portanto
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r},\qquad r>R,
consistente com a forma de potencial de uma carga pontual Q localizada no centro.

Passo 8

Potencial para r\le R (dentro da esfera condutora):
Já sabemos que o campo elétrico no interior é nulo: E_r=0 para r<R. Como -dV/dr = E_r =0, isso implica que V é constante em todo o interior do condutor. O valor dessa constante é o potencial na superfície r=R. Assim:
V(r)=V(R),\qquad r\le R.
Calculamos V(R) a partir da expressão externa (fazendo r\to R na expressão de fora):
V(R)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R}.
Portanto
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R},\qquad r\le R.
Observação: o potencial é contínuo na superfície (não tem salto) e sua derivada radial tem descontinuidade relacionada à densidade superficial de carga, mas aqui não precisamos desse detalhe para a resposta.

Passo 9

Resumo final dos potenciais (para fixar):
V(r)=\begin{cases} \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R}, & r\le R,\\[8pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r}, & r>R. \end{cases}]

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\begin{cases}\mathbf{0}, & r<R,\\[6pt]\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^2}\,\hat{r}, & r>R.\end{cases}
(b) \displaystyle V(r)=\begin{cases}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{R}, & r\le R,\\[8pt]\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r}, & r>R.\end{cases}]

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