Um solenoide longo tem 220 espiras/cm, diâmetro de 3,2 \mathrm{~cm} e transporta uma corrente de 1,5 \mathrm{~A}. Em seu centro, colocamos uma bobina compacta de 130 espiras. A corrente no solenoide é então reduzida a zero e, a seguir, aumentada até 1,5 \mathrm{~A} no sentido oposto a uma taxa constante por um periodo de 50 ms . Qual é o valor absoluto (ou seja, em módulo) da fem induzida na bobina central. enquanto a corrente no solenoide está variando?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O solenoide tem 220 espiras por centímetro.
  • O diâmetro do solenoide é 3{,}2\\ \text{cm}.
  • A corrente inicial no solenoide é I_{\text{inicial}}=1{,}5\\ \text{A}.
  • A corrente é reduzida a zero e em seguida aumentada até 1{,}5\\ \text{A} no sentido oposto, tudo isso ocorrendo com taxa constante durante um período de 50\\ \text{ms}.
  • No centro do solenoide colocamos uma bobina compacta com N=130 espiras.
O enunciado pede: o valor absoluto (módulo) da fem induzida na bobina enquanto a corrente no solenoide está variando.
Dados convertidos para SI (os vou usar depois):
220\\ \text{espiras/cm} = 22000\\ \text{espiras/m}.
\text{diâmetro } d=3{,}2\\ \text{cm}=0{,}032\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{d}{2}=0{,}016\\ \text{m}.â
50\\ \text{ms}=0{,}050\\ \text{s}.

Passo 2

Apresentando a lei física que vamos usar (com explicação didática).
  • Lei de Faraday (em linguagem simples): a fem induzida em uma bobina é proporcional à taxa de variação do fluxo magnético que atravessa essa bobina. Para uma bobina de N espiras:
\mathcal{E}=-N\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético através de uma espira e o sinal negativo indica a Lei de Lenz (a fem se opõe à mudança). Aqui só precisamos do módulo, então usaremos |\mathcal{E}|=N\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|.
  • Se o campo magnético \mathbf{B} é aproximadamente uniforme através da área A de cada espira e está perpendicular ao plano da espira, então o fluxo é
\Phi = B\,A.
Logo
\left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = A\left|\frac{dB}{dt}\right|.

Passo 3

Campo magnético de um solenoide longo e relação com a corrente (explicação).
Para um solenoide longo e bem próximo do centro, o campo magnético axial é aproximadamente
B=\mu_0\,n\,I,
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m/A};
  • n é o número de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro);
  • I é a corrente no solenoide.
Portanto
\frac{dB}{dt}=\mu_0\,n\,\frac{dI}{dt}.
Substituindo na lei de Faraday:
|\mathcal{E}|=N\,A\,\mu_0\,n\left|\frac{dI}{dt}\right|.
Esta é a fórmula que vamos aplicar. Aqui:
  • N=130 (espiras da bobina central),
  • A é a área de uma espira da bobina central (assumimos que a bobina ocupa a seção do solenoide, logo sua área é a área do círculo de raio r),
  • n=22000\\ \text{espiras/m}.

Passo 4

Calcular a área da espira da bobina central (explicando passo a passo).
A área de um círculo de raio r é A=\pi r^2. Com r=0{,}016\\ \text{m},
A=\pi(0{,}016)^2=\pi\times0{,}000256.
Fazendo a conta:
A\approx 0{,}00080425\\ \text{m}^2.

Passo 5

Calcular a taxa de variação da corrente \dfrac{dI}{dt}.
A corrente vai de +1{,}5\\ \text{A} a -1{,}5\\ \text{A} (sentido oposto) durante \Delta t=0{,}050\\ \text{s}. A variação total é
\Delta I = -1{,}5 - (+1{,}5) = -3{,}0\\ \text{A}.
A magnitude da taxa média é
\left|\frac{dI}{dt}\right|=\frac{|\Delta I|}{\Delta t}=\frac{3{,}0}{0{,}050}=60\\ \text{A/s}.

Passo 6

Substituir todos os valores na fórmula e calcular passo a passo (mostrar contas intermediárias).
Fórmula:
|\mathcal{E}|=N\,A\,\mu_0\,n\left|\frac{dI}{dt}\right|.
Valores numéricos:
N=130,\quad A\approx0{,}00080425\\ \text{m}^2,\quad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \text{T·m/A},
n=22000\\ \text{espiras/m},\quad \left|\frac{dI}{dt}\right|=60\\ \text{A/s}.
Calculemos \mu_0 n primeiro:
\mu_0 n = (4\pi\times10^{-7})\times22000 = 4\pi\times2{,}2\times10^{-3}\approx 0{,}027646\\ \text{(em unidades SI)}.
Calculemos N A:
N A = 130\times0{,}00080425 \approx 0{,}1045525.
Agora multiplicando tudo:
|\mathcal{E}| \approx 0{,}1045525 \times 0{,}027646 \times 60.
Primeiro 0{,}1045525\times0{,}027646\approx 0{,}0028909.
Em seguida 0{,}0028909\times60\approx 0{,}17345.
Portanto
|\mathcal{E}|\approx0{,}173\\ \text{V}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo.
O valor é pequeno (cerca de 0{,}17\\ \text{V}), o que faz sentido: apesar de muitas espiras na bobina central, o campo de um solenoide é proporcional à corrente e a variação de corrente foi relativamente lenta (50 ms), por isso a fem induzida não é muito grande. Bom trabalho — você já domina a ideia: usar Faraday, escrever B=\mu_0 n I, calcular fluxo BA e diferenciar.

Resposta

0{,}173\\ \text{V}

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