Considere um circuito RLC forçado, como vimos ao longo das aulas:
Escreva a expressão da diferença de potencial em cada um dos elementos do circuito (resistor, capacitor e indutor).

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício sobre circuitos RLC forçados. O objetivo aqui é encontrar as expressões da diferença de potencial em cada um dos elementos do circuito: resistor, capacitor e indutor. Para isso, vamos precisar entender como cada componente se comporta em um circuito de corrente alternada e como aplicar as leis de Kirchhoff para relacionar as tensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um circuito RLC forçado. Ele é composto por três elementos principais:
  • Resistor ®: Resiste ao fluxo de corrente, a diferença de potencial (tensão) no resistor é proporcional à corrente que passa por ele.
  • Indutor (L): Armazena energia na forma de campo magnético, a tensão no indutor depende da taxa de variação da corrente.
  • Capacitor ©: Armazena energia na forma de campo elétrico, a tensão no capacitor depende da carga acumulada.

Passo 3

Para encontrar as expressões das tensões em cada elemento, vamos usar as leis que relacionam tensão e corrente em cada componente:
  • Resistor: A lei de Ohm nos diz que a tensão no resistor é $ V_R = I \cdot R $.
  • Indutor: A tensão no indutor é dada por $ V_L = L \cdot \frac{dI}{dt} $.
  • Capacitor: A tensão no capacitor é $ V_C = \frac{1}{C} \int I , dt $.

Passo 4

Como o circuito é forçado, estamos lidando com corrente alternada (AC), onde a corrente e a tensão variam sinusoidalmente com o tempo. Podemos representar a corrente como $ I(t) = I_0 \cos(\omega t + \phi) $, onde:
  • $ I_0 $ é a amplitude da corrente,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase.

Passo 5

Vamos agora calcular cada tensão usando a corrente sinusoidal:
  1. Tensão no Resistor:
    VR(t) = I(t) cdot R = I0 R cos(omega t + phi)
  2. Tensão no Indutor:
    Primeiro, calculamos a derivada da corrente:
    dIdt = -I0 omega sin(omega t + phi)
    Então,
    VL(t) = L cdot dIdt = -L I0 omega sin(omega t + phi)
    Podemos reescrever isso usando uma fase diferente:
    VL(t) = L I0 omega cos(omega t + phi + pi2)
  3. Tensão no Capacitor:
    Calculamos a integral da corrente:
    integral I(t) , dt = integral I0 cos(omega t + phi) , dt = I0omega sin(omega t + phi) + C
    Ignorando a constante de integração para corrente AC,
    VC(t) = 1C cdot I0omega sin(omega t + phi) = I0omega C sin(omega t + phi)
    Reescrevendo com fase:
    VC(t) = I0omega C cos(omega t + phi - pi2)

Resposta

As expressões da diferença de potencial em cada elemento do circuito RLC forçado são:
  • Resistor:
    VR(t) = I0 R cos(omega t + phi)
  • Indutor:
    VL(t) = L I0 omega cos(omega t + phi + pi2)
  • Capacitor:
    VC(t) = I0omega C cos(omega t + phi - pi2)

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