Considere um circuito RLC forçado, como vimos ao longo das aulas:
Escreva a solução da equação diferencial escrita no item (a), explicando cada expressão colocada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um circuito RLC forçado, que envolve Resistor ®, Indutor (L) e Capacitor © ligados em um circuito com uma fonte de alimentação que força o sistema. O exercício quer que a gente resolva uma equação diferencial que descreve esse circuito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e entender como analisar circuitos elétricos com componentes reativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como montar a equação diferencial para um circuito RLC forçado. A fonte de tensão $ V(t) $ é igual à soma das tensões nos três componentes:
V(t)
Sabendo que:
  • $ V_R = R \cdot I(t) $ (Lei de Ohm)
  • $ V_L = L \cdot \frac{dI(t)}{dt} $ (Tensão no Indutor)
  • $ V_C = \frac{1}{C} \int I(t) , dt $ (Tensão no Capacitor)
Para facilitar, vamos diferenciar ambos os lados em relação ao tempo para eliminar a integral:
V(t) = VR + VL + VC
Se a fonte é uma tensão senoidal, por exemplo, $ V(t) = V_0 \cos(\omega t) $, a equação fica:
VR = R cdot I(t)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado.
A solução geral $ I(t) $ será a soma da solução da equação homogênea ($ I_h(t) I(t) çã I_p(t) $):
Ih(t)

Passo 4

Começamos resolvendo a equação homogênea:
L cdot d^2I(t)dt^2 + R cdot dI(t)dt + 1C I(t) = 0
Assumindo soluções da forma $ I_h(t) = e^{st} $, substituímos na equação para encontrar os valores de $ s $:
Ih(t) = e^st
Isso é uma equação quadrática cujo discriminante $ \Delta = R^2 - 4 \cdot L \cdot \frac{1}{C} $ determina o tipo de solução (superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido).

Passo 5

Depois, encontramos a solução particular $ I_p(t) $. Como a forçante é $ V_0 \cos(\omega t) $, tentamos uma solução da forma:
Ip(t)
Substituindo $ I_p(t) $ na equação diferencial e resolvendo para $ A $ e $ B $, conseguimos determinar os coeficientes que atendem à equação.

Passo 6

Com $ I_h(t) $ e $ I_p(t) $ encontrados, juntamos as soluções para obter a solução geral:
Ih(t)
Onde:
  • $ \omega_d $ é a frequência angular amortecida,
  • $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais,
  • $ \phi $ é o ângulo de fase.

Resposta

A solução da equação diferencial para o circuito RLC forçado é dada por:
I(t) = e^-R2L t ( C1 cos(omegad t) + C2 sin(omegad t) ) + V0raizR^2 + (omega L - 1omega C)^2 cos(omega t - phi)

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