Considere um circuito RLC forçado, como vimos ao longo das aulas:
Escreva a solução da equação diferencial escrita no item (a), explicando cada expressão colocada.
Escreva a solução da equação diferencial escrita no item (a), explicando cada expressão colocada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um circuito RLC forçado, que envolve Resistor ®, Indutor (L) e Capacitor © ligados em um circuito com uma fonte de alimentação que força o sistema. O exercício quer que a gente resolva uma equação diferencial que descreve esse circuito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e entender como analisar circuitos elétricos com componentes reativos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a equação diferencial para um circuito RLC forçado. A fonte de tensão $ V(t) $ é igual à soma das tensões nos três componentes:
Sabendo que:
- $ V_R = R \cdot I(t) $ (Lei de Ohm)
- $ V_L = L \cdot \frac{dI(t)}{dt} $ (Tensão no Indutor)
- $ V_C = \frac{1}{C} \int I(t) , dt $ (Tensão no Capacitor)
Para facilitar, vamos diferenciar ambos os lados em relação ao tempo para eliminar a integral:
Se a fonte é uma tensão senoidal, por exemplo, $ V(t) = V_0 \cos(\omega t) $, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado.
A solução geral $ I(t) $ será a soma da solução da equação homogênea ($ I_h(t)
I_p(t) $):
Passo 4
Começamos resolvendo a equação homogênea:
Assumindo soluções da forma $ I_h(t) = e^{st} $, substituímos na equação para encontrar os valores de $ s $:
Isso é uma equação quadrática cujo discriminante $ \Delta = R^2 - 4 \cdot L \cdot \frac{1}{C} $ determina o tipo de solução (superamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido).
Passo 5
Depois, encontramos a solução particular $ I_p(t) $. Como a forçante é $ V_0 \cos(\omega t) $, tentamos uma solução da forma:
Substituindo $ I_p(t) $ na equação diferencial e resolvendo para $ A $ e $ B $, conseguimos determinar os coeficientes que atendem à equação.
Passo 6
Com $ I_h(t) $ e $ I_p(t) $ encontrados, juntamos as soluções para obter a solução geral:
Onde:
- $ \omega_d $ é a frequência angular amortecida,
- $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais,
- $ \phi $ é o ângulo de fase.
Resposta
A solução da equação diferencial para o circuito RLC forçado é dada por: