Considere um circuito RLC com indutância é , capacitância C e carga inicial . Para este caso, considere ainda que a frequência de oscilação () seja muito superior que a característica resistiva do circuito, isto é, .
Desta forma, a função que expressa o comportamento da carga nesse circuito elétrico pode ser dada pela expressão abaixo.
onde e . Derivando essa função acima, verifique se a mesma satisfaz a equação diferencial que a rege a dinâmica da carga no circuito:
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: um circuito RLC (resistor, indutor e capacitor) com carga inicial . A equação diferencial que manda no sistema é
sendo e .
O “tal” de que a gente precisa checar é
Para provar que isso funciona (ou seja, satisfaz a equação acima), vamos precisar aplicar regra do produto e cadeia pra derivar duas vezes e depois ver se, ao somar tudo, dá zero (ainda que a gente assuma bem pequenino pra desprezar termos de ordem ).
Passo 2
Primeiro, vamos achar .
q(t) = produto de e , então:
– derivada de é .
– derivada de é .
Aplicando regra do produto:
onde .
Logo,
Passo 3
Agora -tfracgamma2underbrace(-sintheta)d(costheta)cdotomega0 ;-;omega0underbrace(costheta)d(sintheta)cdotomega0 =gammaomega02sintheta ;-;omega0^2costheta . De novo produto d^2qdt^2 = Q0,e^-tfracgamma2tl[ -tfracgamma2l(-tfracgamma2costheta-omega0sinthetar) +gammaomega02sintheta-omega0^2costheta r] × “(…)”:
deixa e deriva o parênteses .
A derivada deste parênteses é
Juntando tudo:
Simplificando dentro do colchete, chega-se a
Passo 4
Bora montar d^2qdt^2 + gammadqdt + omega0^2 q = Q0,e^-tfracgamma2t,l(-tfracgamma^24costhetar) .
Cada termo tem fator comum , então somamos os colchetes:
de : .
de :
de :
Somando tudo em e :
– Termos em :
– Termos em :
Ou seja,
Como a gente assumiu muito pequeno (isto é, desprezível), esse resto vai a zero.
Resposta
Sim! Ao derivar duas vezes, somando e , sobra só um termo proporcional a , que é praticamente zero quando . Logo a função dada satisfaz (aproximadamente) a equação diferencial.