Considere um circuito RLC com indutância é L, capacitância C e carga inicial Q0. Para este caso, considere ainda que a frequência de oscilação ( omega0) seja muito superior que a característica resistiva do circuito, isto é, omega0 approx raizomega0^2-gamma^2 / 4.
Desta forma, a função que expressa o comportamento da carga nesse circuito elétrico pode ser dada pela expressão abaixo.
q(t)=Q0 cdot e^-gamma2 t cdot cos (omega0 t+phi)
onde gamma equiv RL e omega0 ^2 equiv 1L C. Derivando essa função acima, verifique se a mesma satisfaz a equação diferencial que a rege a dinâmica da carga no circuito:
d^2 qd t^2+gamma d qd t+omega0^2 q=0

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: um circuito RLC (resistor, indutor e capacitor) com carga inicial d^2qdt^2 + gamma dqdt + omega0^2,q = 0, . A equação diferencial que manda no sistema é
q(t) = Q0,e^-tfracgamma2t,cos!l(omega0t + phir)
sendo e .
O “tal” de que a gente precisa checar é
Para provar que isso funciona (ou seja, satisfaz a equação acima), vamos precisar aplicar regra do produto e cadeia pra derivar duas vezes e depois ver se, ao somar tudo, dá zero (ainda que a gente assuma bem pequenino pra desprezar termos de ordem ).

Passo 2

Primeiro, vamos achar dqdt = Q0l(underbrace-tfracgamma2e^-tfracgamma2td(e^-gamma t/2)cos(theta) + e^-tfracgamma2tunderbrace-omega0sin(theta)d(costheta)r), .
q(t) = produto de dqdt = Q0,e^-tfracgamma2t,l(-tfracgamma2costheta ;-;omega0sinthetar) e , então:
– derivada de é .
– derivada de é .
Aplicando regra do produto:
onde .
Logo,

Passo 3

Agora -tfracgamma2underbrace(-sintheta)d(costheta)cdotomega0 ;-;omega0underbrace(costheta)d(sintheta)cdotomega0 =gammaomega02sintheta ;-;omega0^2costheta . De novo produto d^2qdt^2 = Q0,e^-tfracgamma2tl[ -tfracgamma2l(-tfracgamma2costheta-omega0sinthetar) +gammaomega02sintheta-omega0^2costheta r] × “(…)”:
  1. deriva d^2qdt^2 = Q0,e^-tfracgamma2t l(l(tfracgamma^24-omega0^2r)costheta ;+;gammaomega0sinthetar) , multiplicado pelo parênteses.
  2. deixa e deriva o parênteses .
    A derivada deste parênteses é
Juntando tudo:
Simplificando dentro do colchete, chega-se a

Passo 4

Bora montar
d^2qdt^2 + gammadqdt + omega0^2 q = Q0,e^-tfracgamma2t,l(-tfracgamma^24costhetar) .
Cada termo tem fator comum , então somamos os colchetes:
  1. de : .
  2. de :
  3. de :
    Somando tudo em e :
    – Termos em :
    – Termos em :
    Ou seja,
Como a gente assumiu muito pequeno (isto é, desprezível), esse resto vai a zero.

Resposta

Sim! Ao derivar duas vezes, somando e , sobra só um termo proporcional a , que é praticamente zero quando . Logo a função dada satisfaz (aproximadamente) a equação diferencial.

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