Considere a EDO linearizada do problema 23, \theta^{\prime \prime}(t)+\frac{g}{L} \theta(t)=0. Encontre a solução geral para o ângulo \theta(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linearizada
\theta''(t)+\frac{g}{L}\,\theta(t)=0,
onde \theta(t) é o ângulo (função desconhecida de t), g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento do pêndulo. A tarefa é encontrar a solução geral para \theta(t). As informações relevantes são: a EDO é homogênea, linear e com coeficientes constantes; não foram dadas condições iniciais, então queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Estratégia para resolver: para EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial
\theta(t)=e^{r t},
porque derivadas de exponenciais produzem fatores algébricos que transformam a EDO em uma equação algébrica (a chamada equação característica). Vou explicar isso devagar: se \theta(t)=e^{r t}, então \theta'(t)=r e^{r t} e \theta''(t)=r^2 e^{r t}. Substituindo na EDO, o fator e^{r t} não nulo se cancela, sobrando uma equação para r.

Passo 3

Substituindo \theta(t)=e^{r t} em \theta''(t)+\dfrac{g}{L}\,\theta(t)=0 obtemos a equação característica
r^2+\frac{g}{L}=0.
Resolvendo para r,
r^2=-\frac{g}{L}\quad\Rightarrow\quad r=\pm i\sqrt{\frac{g}{L}}.
Aqui introduzimos a notação prática
\omega\equiv\sqrt{\frac{g}{L}},
que é a frequência angular natural do sistema (uma quantidade positiva). As raízes r=\pm i\omega são puramente imaginárias, o que indica que as soluções são oscilatórias — ou seja, envolvendo funções seno e cosseno.

Passo 4

Explicando por que seno e cosseno aparecem: as soluções complexas básicas da EDO associada são e^{i\omega t} e e^{-i\omega t}. Pelo Teorema de Euler,
e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t).
Como a EDO é real, as combinações lineares reais dessas soluções complexas geram as soluções reais. Assim, duas soluções reais linearmente independentes (uma base do espaço de soluções) são \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Qualquer solução real geral será uma combinação linear dessas duas funções independentes.

Passo 5

Como se determina as constantes dessa combinação na prática (a ideia, para usar na prova): suponha que eu tenha duas constantes arbitrárias C_1 e C_2 multiplicando as duas soluções independentes (essas constantes aparecem porque a EDO é de segunda ordem). Para ajustar a solução a condições iniciais dadas, por exemplo \theta(0)=\theta_0 e \theta'(0)=v_0, avalio as funções base e suas derivadas em t=0:
\cos(\omega\cdot 0)=1,\qquad \sin(\omega\cdot 0)=0,
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)\Big|_{t=0}=0,\qquad \frac{d}{dt}\sin(\omega t)\Big|_{t=0}=\omega.
Com isso obtém-se um sistema linear simples para as constantes (por exemplo, C_1=\theta_0 e C_2=v_0/\omega quando se usa exatamente as funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t) como base). Esse procedimento mostra como ajustar a solução geral às condições iniciais na prova, sem dificuldades algébricas.

Passo 6

Interpretação física curta (útil para lembrar na prova): \omega=\sqrt{g/L} é a frequência angular; a frequência em hertz é f=\omega/(2\pi) e o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Essas fórmulas aparecem frequentemente em exercícios sobre pêndulo pequeno e vale a pena decorar a relação entre T, L e g.

Resposta

\displaystyle \theta(t)=C_{1}\cos\!\biggl(\sqrt{\dfrac{g}{L}}\,t\biggr)+C_{2}\sin\!\biggl(\sqrt{\dfrac{g}{L}}\,t\biggr)\n
\displaystyle \text{ou, equivalentemente, }\theta(t)=A\cos\!\biggl(\sqrt{\dfrac{g}{L}}\,t+\varphi\biggr),\text{ com }A\ge0,\\ \varphi\in\mathbb{R}.

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