Um sistema massa-mola
e sem amortecimento (
) é submetido a uma força externa
. Modele a EDO que descreve o movimento e utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):
- Foi dado um sistema massa-mola com massa
, constante elástica e sem amortecimento, isto é . - A força externa aplicada é
. - O enunciado pede duas coisas:
- Modelar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve o movimento.
- Usar o método dos coeficientes a determinar (método de undetermined coefficients) para encontrar uma solução particular da EDO.
- Informação útil que vem do enunciado: valores numéricos de
, , e a forma da força externa (cosseno de frequência ).
Passo 2
Escrevendo a EDO geral e substituindo os valores dados.
- A equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento linear e força externa é, em termos de deslocamento
,
- Substituindo
, , e , obtemos a EDO que modela o problema:
Passo 3
Breve explicação do método dos coeficientes a determinar (didática): quando e como usar.
- O método dos coeficientes a determinar serve para encontrar uma solução particular de EDOs lineares com coeficientes constantes quando o termo forçado (lado direito) é uma combinação de funções “elementares” cujo espaço é fechado por derivação — por exemplo exponenciais, polinômios, senos e cossenos, ou produtos destes.
- A ideia: supor uma forma (ansatz) para a solução particular com coeficientes desconhecidos (os “coeficientes a determinar”) que tenha a mesma estrutura do termo forçado e determinar esses coeficientes substituindo na EDO e igualando coeficientes.
- Atenção à ressonância: se alguma função do ansatz for solução da equação homogênea associada, então a forma do ansatz deve ser multiplicada por
(ou por potência de ) para obter uma forma válida. Vou explicar isso com o nosso caso.
Passo 4
Estudo da equação homogênea associada (importante para verificar ressonância).
- A homogênea associada é
- Sua equação característica é
, cujas raízes são . Portanto a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (se houver).
- Observação de ressonância: o termo forçado tem frequência
(porque ), enquanto as frequências naturais da homogênea são (aprox. ). Como , não há ressonância — isto é, a forma simples será adequada como ansatz.
Passo 5
Escolha do ansatz para a solução particular (explicando por quê).
- Como o forçamento é
, e não há ressonância, escolhemos um ansatz da forma
onde
e
são constantes reais a determinar.
- Motivação: derivadas de
e geram novamente combinações de e , então ao substituir na EDO vamos obter uma identidade em e que nos permite igualar coeficientes.
Passo 6
Calcular as derivadas do ansatz passo a passo.
- Primeiro derivada:
- Segunda derivada:
(Detalhe: derivada de
dá
e derivada de
dá
; aplicar a derivada novamente introduz outro fator
.)
Passo 7
Substituir
,
na EDO e agrupar termos em
e
.
- A EDO é
. Substituindo:
- Agrupando os coeficientes de
e :
- Simplificando:
Passo 8
Igualar coeficientes e resolver para [A) e
.
- Igualando coeficientes da identidade anterior obtemos o sistema:
- Portanto os coeficientes determinados são .]
Passo 9
Escrever a solução particular encontrada e checar rapidamente (verificação).
- A solução particular é
- Verificação curta: calcular
:
logo
que coincide com o termo forçado. Boa — está correta.
Passo 10
Observação final e solução geral (para contexto de prova).
- A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
- Se a questão só pediu a solução particular, a resposta essencial é
. Se pedirem condição inicial, aí usamos as condições para determinar e .