Um sistema massa-mola \operatorname{com} m=1, k=5 e sem amortecimento ( \gamma=0 ) é submetido a uma força externa f(t)=10 \cos (2 t). Modele a EDO que descreve o movimento e utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que foi dado):
  • Foi dado um sistema massa-mola com massa \,m=1, constante elástica \,k=5 e sem amortecimento, isto é \,\gamma=0.
  • A força externa aplicada é \,f(t)=10\cos(2t).
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Modelar a equação diferencial ordinária (EDO) que descreve o movimento.
    2. Usar o método dos coeficientes a determinar (método de undetermined coefficients) para encontrar uma solução particular da EDO.
  • Informação útil que vem do enunciado: valores numéricos de \,m, \,k, \gamma e a forma da força externa (cosseno de frequência 2).

Passo 2

Escrevendo a EDO geral e substituindo os valores dados.
  • A equação do movimento para um sistema massa-mola com amortecimento linear e força externa é, em termos de deslocamento x(t),
m\,x''(t)+\gamma\,x'(t)+k\,x(t)=f(t).
  • Substituindo \,m=1, \gamma=0, \,k=5 e \,f(t)=10\cos(2t), obtemos a EDO que modela o problema:
x''(t)+5x(t)=10\cos(2t).

Passo 3

Breve explicação do método dos coeficientes a determinar (didática): quando e como usar.
  • O método dos coeficientes a determinar serve para encontrar uma solução particular de EDOs lineares com coeficientes constantes quando o termo forçado (lado direito) é uma combinação de funções “elementares” cujo espaço é fechado por derivação — por exemplo exponenciais, polinômios, senos e cossenos, ou produtos destes.
  • A ideia: supor uma forma (ansatz) para a solução particular com coeficientes desconhecidos (os “coeficientes a determinar”) que tenha a mesma estrutura do termo forçado e determinar esses coeficientes substituindo na EDO e igualando coeficientes.
  • Atenção à ressonância: se alguma função do ansatz for solução da equação homogênea associada, então a forma do ansatz deve ser multiplicada por t (ou por potência de t) para obter uma forma válida. Vou explicar isso com o nosso caso.

Passo 4

Estudo da equação homogênea associada (importante para verificar ressonância).
  • A homogênea associada é
x''+5x=0.
  • Sua equação característica é r^2+5=0, cujas raízes são r=\pm i\sqrt{5}. Portanto a solução geral homogênea é
x_h(t)=C_1\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais (se houver).
  • Observação de ressonância: o termo forçado tem frequência 2 (porque \cos(2t)), enquanto as frequências naturais da homogênea são \sqrt{5} (aprox. 2{,}236). Como 2\neq\sqrt{5}, não há ressonância — isto é, a forma simples A\cos(2t)+B\sin(2t) será adequada como ansatz.

Passo 5

Escolha do ansatz para a solução particular (explicando por quê).
  • Como o forçamento é \,10\cos(2t), e não há ressonância, escolhemos um ansatz da forma
x_p(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes reais a determinar.
  • Motivação: derivadas de \cos(2t) e \sin(2t) geram novamente combinações de \cos(2t) e \sin(2t), então ao substituir na EDO vamos obter uma identidade em \cos(2t) e \sin(2t) que nos permite igualar coeficientes.

Passo 6

Calcular as derivadas do ansatz passo a passo.
  • Primeiro derivada:
x_p'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr) = -2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
  • Segunda derivada:
x_p''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr) = -4A\cos(2t)-4B\sin(2t).
(Detalhe: derivada de \cos(2t) -2\sin(2t) e derivada de \sin(2t) 2\cos(2t); aplicar a derivada novamente introduz outro fator 2.)

Passo 7

Substituir x_p, x_p'' na EDO e agrupar termos em \cos(2t) e \sin(2t).
  • A EDO é \,x''+5x=10\cos(2t). Substituindo:
(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)) + 5\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr) = 10\cos(2t).
  • Agrupando os coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
(-4A+5A)\cos(2t) + (-4B+5B)\sin(2t) = 10\cos(2t).
  • Simplificando:
A\cos(2t) + B\sin(2t) = 10\cos(2t).

Passo 8

Igualar coeficientes e resolver para [A) e B.
  • Igualando coeficientes da identidade anterior obtemos o sistema:
\begin{cases} A = 10,\\[4pt] B = 0. \end{cases}
  • Portanto os coeficientes determinados são A=10\] e \(B=0.]

Passo 9

Escrever a solução particular encontrada e checar rapidamente (verificação).
  • A solução particular é
x_p(t)=10\cos(2t).
  • Verificação curta: calcular x_p''+5x_p:
x_p''(t) = -40\cos(2t),\quad 5x_p(t)=50\cos(2t),
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x_p''+5x_p = (-40+50)\cos(2t)=10\cos(2t),
que coincide com o termo forçado. Boa — está correta.

Passo 10

Observação final e solução geral (para contexto de prova).
  • A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1\cos\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+C_2\sin\bigl(\sqrt{5}\,t\bigr)+10\cos(2t).
  • Se a questão só pediu a solução particular, a resposta essencial é x_p(t)=10\cos(2t). Se pedirem condição inicial, aí usamos as condições para determinar C_1 e C_2.

Resposta

x''(t)+5x(t)=10\cos(2t)\n
x_p(t)=10\cos(2t)

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