3- Considere um circuito RLC série formado por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C , desligado da fonte externa de tensão. No instante
, o capacitor está carregado com carga
e a corrente inicial é nula. (a) Usando a Lei de Kirchhoff das tensões, escreva a relação entre as quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor. (b) Deduza a equação diferencial que governa o comportamento da carga
no capacitor. (c) Resolva a equação diferencial, encontrando a solução geral para q(t) no caso de oscilações amortecidas. (d) Explique fisicamente o significado dos termos da solução achada no item (c).
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
(a) escrever, a partir da Lei de Kirchhoff das tensões, a relação entre as quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor para o circuito RLC série desligado da fonte;
(b) deduzir a equação diferencial que governa a carga no capacitor, usando as informações iniciais;
(c) resolver essa equação no caso de oscilações amortecidas (isto é, regime subamortecido) e obter a solução geral aplicada às condições iniciais dadas;
(d) interpretar fisicamente os termos da solução obtida em (c).
(a) escrever, a partir da Lei de Kirchhoff das tensões, a relação entre as quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor para o circuito RLC série desligado da fonte;
(b) deduzir a equação diferencial que governa a carga
(c) resolver essa equação no caso de oscilações amortecidas (isto é, regime subamortecido) e obter a solução geral aplicada às condições iniciais dadas;
(d) interpretar fisicamente os termos da solução obtida em (c).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar explicitamente:
- O circuito é série, com resistência
, indutância e capacitância . - O circuito está desligado da fonte (não há tensão externa para
). - No instante
o capacitor tem carga . - A corrente inicial é nula:
.
Não começo a resolver aqui; apenas listei o que é pedido e os dados que usarei.
Passo 2
Escolha de sinais e relação entre corrente e carga (conceito básico que precisamos usar).
- Vamos tomar
como a carga no capacitor em cada instante . - A corrente no circuito, por definição, é a taxa de variação da carga:
. Expliquei isso porque é essencial: quando o capacitor perde carga, é negativa e isto corresponde à corrente que circula no circuito. - As quedas de tensão nos elementos, em função de
e , são: - Resistor: a queda é proporcional à corrente pela Lei de Ohm,
- Indutor: a queda é proporcional à variação da corrente,
- Capacitor: a tensão depende da carga acumulada,
- Resistor: a queda é proporcional à corrente pela Lei de Ohm,
Essas expressões são fórmulas básicas: expliquei o que cada variável representa e por que cada fórmula vale.
Passo 3
Aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões (KVL).
- Em um circuito série fechado sem fonte externa, a soma algébrica das quedas de tensão ao longo do laço é zero. Logo:
- Substituindo as expressões em termos de
,
- Esta é a equação diferencial de segunda ordem que relaciona a carga
com seus tempos-derivados. Isto responde o item (a) (a expressão de KVL) e é o início do item (b).
Passo 4
Organizando a equação diferencial em forma padrão e introduzindo parâmetros úteis.
- Colocamos a equação em forma padrão dividindo por
:
- É comum definir dois parâmetros físicos úteis:
- taxa de amortecimento
(tem dimensão de ); - pulsação natural não amortecida
.
- taxa de amortecimento
- Reescrevendo com esses parâmetros:
Isto é a equação clássica de um oscilador linear amortecido, agora em termos de
e
. Isso completa o item (b).
Passo 5
Resolver a equação diferencial homogênea por tentativa de solução exponencial (método padrão).
- Procuramos soluções da forma
. Substituindo na equação dá a equação característica:
- As raízes são
- O tipo de solução depende do sinal discriminante
: - Se
temos raízes complexas conjugadas: regime subamortecido (oscilações amortecidas). É o caso pedido no item (c). - (Para completar a intuição:
é crítico, é superamortecido — não precisamos resolver esses casos aqui.)
- Se
Passo 6
Solução no caso de oscilações amortecidas (subamortecido).
- No caso subamortecido definimos a pulsação amortecida
que é real e positiva quando
. As raízes ficam
- A solução real geral então é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 7
Aplicar as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
- Da expressão para
, em temos
- A corrente é
. Vamos derivar cuidadosamente:
Derivando (uso da regra do produto):
- Em
isso dá
- A condição
implica
- Como
, obtemos
Passo 8
Escrever a solução particular com as constantes determinadas.
- Substituindo
e na solução:
- Podemos também reescrever numa forma com amplitude e fase (opcional, às vezes útil):
- Definindo
e , obtemos
- Nesta forma
é a amplitude inicial efetiva e é um desfasamento que garante a condição de corrente inicial nula. (A forma com cos + sin é suficiente e direta para usar em prova.)
- Definindo
Isto responde o item (c): escrevemos a solução no regime amortecido e aplicamos as condições iniciais.
Passo 9
Interpretação física dos termos da solução (resposta ao item (d)).
- Fator exponencial
: representa o amortecimento — indica que a amplitude das oscilações decresce exponencialmente devido à dissipação de energia no resistor. O parâmetro controla a rapidez desse decaimento: maior → maior → perda de energia mais rápida. - Termos trigonométricos
e : representam a oscilação periódica resultante da troca de energia entre o capacitor (energia elétrica armazenada) e o indutor (energia magnética). Sem resistência ( , logo ) a oscilação seria pura com frequência . - Pulsação natural
: frequência que o sistema teria sem perda de energia (R=0). - Pulsação amortecida
: frequência real das oscilações quando há amortecimento; é menor que devido à presença da resistência. - Coeficientes (a dependência
em ): eles codificam as condições iniciais. No nosso caso, o capacitor começa carregado ( ) e a corrente é zero, então a resposta começa com carga máxima e sem velocidade inicial; isso produz a combinação cos + sin com os coeficientes calculados. - Energia: inicialmente toda energia está no capacitor; ao longo do tempo a energia oscila entre capacitor e indutor, e o resistor converte parte dessa energia em calor a cada ciclo, fazendo a amplitude decair.
Resposta
(a)
, isto é
(b) (equivalente
com
,
).
(c) No regime de oscilações amortecidas ( ), com
, a solução que satisfaz
e
é
(b)
(c) No regime de oscilações amortecidas (
(d) Interpretação:
é o envelope exponencial causado pela dissipação no resistor (
determina a taxa de decaimento);
e
descrevem a oscilação entre capacitor e indutor;
é a frequência natural sem perda e
é a frequência real das oscilações amortecidas (menor que
).