3- Considere um circuito RLC série formado por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e um capacitor de capacitância C , desligado da fonte externa de tensão. No instante \mathrm{t}=0, o capacitor está carregado com carga \mathrm{Q}_{0} e a corrente inicial é nula. (a) Usando a Lei de Kirchhoff das tensões, escreva a relação entre as quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor. (b) Deduza a equação diferencial que governa o comportamento da carga \mathrm{q}(\mathrm{t}) \mathrm{q} no capacitor. (c) Resolva a equação diferencial, encontrando a solução geral para q(t) no caso de oscilações amortecidas. (d) Explique fisicamente o significado dos termos da solução achada no item (c).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
(a) escrever, a partir da Lei de Kirchhoff das tensões, a relação entre as quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor para o circuito RLC série desligado da fonte;
(b) deduzir a equação diferencial que governa a carga q(t) no capacitor, usando as informações iniciais;
(c) resolver essa equação no caso de oscilações amortecidas (isto é, regime subamortecido) e obter a solução geral aplicada às condições iniciais dadas;
(d) interpretar fisicamente os termos da solução obtida em (c).
Informações dadas pelo enunciado que vamos usar explicitamente:
  • O circuito é série, com resistência R, indutância L e capacitância C.
  • O circuito está desligado da fonte (não há tensão externa para t>0).
  • No instante t=0 o capacitor tem carga q(0)=Q_0.
  • A corrente inicial é nula: i(0)=0.
Não começo a resolver aqui; apenas listei o que é pedido e os dados que usarei.

Passo 2

Escolha de sinais e relação entre corrente e carga (conceito básico que precisamos usar).
  • Vamos tomar q(t) como a carga no capacitor em cada instante t.
  • A corrente no circuito, por definição, é a taxa de variação da carga: \displaystyle i(t)=\frac{dq}{dt}. Expliquei isso porque é essencial: quando o capacitor perde carga, dq/dt é negativa e isto corresponde à corrente que circula no circuito.
  • As quedas de tensão nos elementos, em função de q e i, são:
    • Resistor: a queda é proporcional à corrente pela Lei de Ohm, \displaystyle v_R = R\,i(t)=R\frac{dq}{dt}.
    • Indutor: a queda é proporcional à variação da corrente, \displaystyle v_L = L\frac{di}{dt}=L\frac{d^2 q}{dt^2}.
    • Capacitor: a tensão depende da carga acumulada, \displaystyle v_C = \frac{q(t)}{C}.
Essas expressões são fórmulas básicas: expliquei o que cada variável representa e por que cada fórmula vale.

Passo 3

Aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões (KVL).
  • Em um circuito série fechado sem fonte externa, a soma algébrica das quedas de tensão ao longo do laço é zero. Logo:
v_R + v_L + v_C = 0.
  • Substituindo as expressões em termos de q,
R\frac{dq}{dt} + L\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0.
  • Esta é a equação diferencial de segunda ordem que relaciona a carga q(t) com seus tempos-derivados. Isto responde o item (a) (a expressão de KVL) e é o início do item (b).

Passo 4

Organizando a equação diferencial em forma padrão e introduzindo parâmetros úteis.
  • Colocamos a equação em forma padrão dividindo por L:
\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{dq}{dt} + \frac{1}{LC}\,q = 0.
  • É comum definir dois parâmetros físicos úteis:
    • taxa de amortecimento \displaystyle \alpha \equiv \frac{R}{2L} (tem dimensão de \text{tempo}^{-1});
    • pulsação natural não amortecida \displaystyle \omega_0 \equiv \frac{1}{\sqrt{LC}}.
  • Reescrevendo com esses parâmetros:
\frac{d^2 q}{dt^2} + 2\alpha \frac{dq}{dt} + \omega_0^2 q = 0.
Isto é a equação clássica de um oscilador linear amortecido, agora em termos de \alpha e \omega_0. Isso completa o item (b).

Passo 5

Resolver a equação diferencial homogênea por tentativa de solução exponencial (método padrão).
  • Procuramos soluções da forma q(t)=e^{r t}. Substituindo na equação dá a equação característica:
r^2 + 2\alpha r + \omega_0^2 = 0.
  • As raízes são
r = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}.
  • O tipo de solução depende do sinal discriminante \alpha^2 - \omega_0^2:
    • Se \alpha^2 < \omega_0^2 temos raízes complexas conjugadas: regime subamortecido (oscilações amortecidas). É o caso pedido no item (c).
    • (Para completar a intuição: \alpha^2 = \omega_0^2 é crítico, \alpha^2 > \omega_0^2 é superamortecido — não precisamos resolver esses casos aqui.)

Passo 6

Solução no caso de oscilações amortecidas (subamortecido).
  • No caso subamortecido definimos a pulsação amortecida
\omega_d \equiv \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2},
que é real e positiva quando \alpha^2<\omega_0^2. As raízes ficam
r = -\alpha \pm i\omega_d.
  • A solução real geral então é
q(t) = e^{-\alpha t}\big( A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t)\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais q(0)=Q_0 e i(0)=0 para encontrar A e B.
  • Da expressão para q(t), em t=0 temos
q(0)=A = Q_0.
  • A corrente é i(t)=dq/dt. Vamos derivar q(t) cuidadosamente:
q(t)=e^{-\alpha t}\big( A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t\big).
Derivando (uso da regra do produto):
\frac{dq}{dt}=e^{-\alpha t}\big[-\alpha(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) + (-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t)\big].
  • Em t=0 isso dá
i(0)=q'(0)= -\alpha A + B\omega_d.
  • A condição i(0)=0 implica
-\alpha A + B\omega_d = 0 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{\alpha}{\omega_d} A.
  • Como A=Q_0, obtemos
B = \frac{\alpha}{\omega_d}\,Q_0.

Passo 8

Escrever a solução particular com as constantes determinadas.
  • Substituindo A e B na solução:
q(t)=Q_0\,e^{-\alpha t}\left(\cos(\omega_d t) + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right).
  • Podemos também reescrever numa forma com amplitude e fase (opcional, às vezes útil):
    • Definindo \displaystyle M\equiv\sqrt{1+\left(\frac{\alpha}{\omega_d}\right)^2} e \displaystyle \varphi\equiv \arctan\!\left(\frac{\alpha}{\omega_d}\right), obtemos
    q(t)=Q_0\,M\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_d t - \varphi).
    • Nesta forma Q_0 M é a amplitude inicial efetiva e \varphi é um desfasamento que garante a condição de corrente inicial nula. (A forma com cos + sin é suficiente e direta para usar em prova.)
Isto responde o item (c): escrevemos a solução no regime amortecido e aplicamos as condições iniciais.

Passo 9

Interpretação física dos termos da solução (resposta ao item (d)).
  • Fator exponencial e^{-\alpha t}: representa o amortecimento — indica que a amplitude das oscilações decresce exponencialmente devido à dissipação de energia no resistor. O parâmetro \alpha=\dfrac{R}{2L} controla a rapidez desse decaimento: maior R → maior \alpha → perda de energia mais rápida.
  • Termos trigonométricos \cos(\omega_d t) e \sin(\omega_d t): representam a oscilação periódica resultante da troca de energia entre o capacitor (energia elétrica armazenada) e o indutor (energia magnética). Sem resistência ( R=0, logo \alpha=0) a oscilação seria pura com frequência \omega_0.
  • Pulsação natural \omega_0=1/\sqrt{LC}: frequência que o sistema teria sem perda de energia (R=0).
  • Pulsação amortecida \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}: frequência real das oscilações quando há amortecimento; é menor que \omega_0 devido à presença da resistência.
  • Coeficientes (a dependência \alpha/\omega_d em B): eles codificam as condições iniciais. No nosso caso, o capacitor começa carregado ( q(0)=Q_0) e a corrente é zero, então a resposta começa com carga máxima e sem velocidade inicial; isso produz a combinação cos + sin com os coeficientes calculados.
  • Energia: inicialmente toda energia está no capacitor; ao longo do tempo a energia oscila entre capacitor e indutor, e o resistor converte parte dessa energia em calor a cada ciclo, fazendo a amplitude decair.

Resposta

(a) v_R+v_L+v_C=0, isto é \displaystyle R\frac{dq}{dt}+L\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0.
(b) \displaystyle \frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0 (equivalente \displaystyle \frac{d^2 q}{dt^2}+2\alpha\frac{dq}{dt}+\omega_0^2 q=0 com \alpha=\dfrac{R}{2L}, \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}).
(c) No regime de oscilações amortecidas ( \alpha^2<\omega_0^2), com \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}, a solução que satisfaz q(0)=Q_0 e i(0)=0 é
q(t)=Q_0\,e^{-\alpha t}\!\left(\cos(\omega_d t)+\frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right).
(d) Interpretação: e^{-\alpha t} é o envelope exponencial causado pela dissipação no resistor ( \alpha=R/2L determina a taxa de decaimento); \cos(\omega_d t) e \sin(\omega_d t) descrevem a oscilação entre capacitor e indutor; \omega_0=1/\sqrt{LC} é a frequência natural sem perda e \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} é a frequência real das oscilações amortecidas (menor que \omega_0).

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