Considere um circuito R C em série num processo de carga do capacitor, em que R=560 k Omega, C=220 mu F e com uma fonte de alimentação varepsilon=10 V. O capacitor esta inicialmente descarregado. (a) Qual é equação matemática que descreve o comportamento teórico da diferença de potencial (ddp) no capacitor no processo de carga, isto é VC(t); (b) qual é equação do comportamento da corrente elétrica I(t) para este caso; (c) escreva a equação da ddp no resistor, VR(t); (d) em que instante de tempo a ddp no capacitor será igual à ddp no resistor?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RC submetido a uma fonte de tensão constante varepsilon=10,V, com R=560:kOmega e C=220:muF. Inicialmente o capacitor está descarregado e, a partir de t=0, começa a carga. Vamos usar a equação diferencial básica de um circuito RC em regime de carga para encontrar VC(t), depois I(t) e VR(t), e finalmente o instante em que VC=VR.

Passo 2

Para achar VC(t), escrevemos a equação de malha e usamos i=C,dfracdVCdt e i=(varepsilon - VC)/R. Isso leva à ODE
C,dVCdt = varepsilon - VCR
Separando variáveis e integrando de 0 a t com VC(0)=0 resulta na solução clássica
VC(t) = varepsilonl(1 - e^-t/(RC)r)

Passo 3

A corrente do circuito é dado por i=C,dVC/dt. Derivando a expressão de VC(t) obtemos
I(t) = C,ddtl[varepsilon(1-e^-t/(RC))r] = varepsilonR,e^-t/(RC)

Passo 4

A tensão no resistor é VR(t)=i(t),R. Substituindo I(t) do passo anterior dá
VR(t) = varepsilon,e^-t/(RC)

Passo 5

Para encontrar t tal que VC(t)=VR(t), igualamos
varepsilonl(1-e^-t/(RC)r) ;=;varepsilon,e^-t/(RC)
Dividindo por varepsilon e reorganizando:
1 - e^-t/(RC) = e^-t/(RC) Longrightarrow e^-t/(RC) = tfrac12 Longrightarrow t = RCln 2
Com RC = 560times10^3:Omega cdot 220times10^-6:F = 123,2:s, temos
t = 123,2;ln 2 approx 85,4:s

Resposta

(a) VC(t) = 10l(1 - e^-t/(RC)r)
(b) I(t) = 10R,e^-t/(RC)
(c) VR(t) = 10,e^-t/(RC)
(d) t = RC,ln 2 approx 85,4:s

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