Considere o círculo de centro
e de equação
e a reta que passa pelo ponto
e é tangente ao círculo em um ponto
do primeiro quadrante. O triângulo
tem área com valor
. O valor de
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo com centro em $ O $ e equação $ x^{2} + y^{2} = 4 $, o que significa que o raio desse círculo é 2 (porque $ \sqrt{4} = 2 $). Temos também uma reta que passa pelo ponto $ C = (0,6) $ e é tangente a esse círculo no ponto $ B $, que está no primeiro quadrante (ou seja, onde $ x $ e $ y $ são positivos). Nosso objetivo é encontrar a área do triângulo $ COB $ e, depois, calcular $ A^{2} $, onde $ A $ é essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma reta ser tangente a um círculo. Uma reta tangente toca o círculo em exatamente um ponto, e nesse ponto, a reta é perpendicular ao raio do círculo. Então, a reta que passa por $ C $ e é tangente ao círculo vai tocar o círculo no ponto $ B $, e o segmento $ OB $ será perpendicular à reta tangente.
Passo 3
Vamos encontrar a equação da reta que passa por $ C $ e é tangente ao círculo. Para isso, precisamos achar a inclinação dessa reta. Sabemos que a inclinação da reta que liga $ O $ a $ B $ (que é o raio) é perpendicular à reta tangente. Se a inclinação da reta tangente é $ m $, então a inclinação do raio $ OB $ é $ -\frac{1}{m} $, pois retas perpendiculares têm inclinações multiplicativas que resultam em $ -1 $.
Passo 4
Vamos usar a condição de tangência para achar a inclinação $ m $. A distância do ponto $ C $ à reta deve ser igual ao raio do círculo, que é 2. A fórmula para a distância de um ponto $ (x_{0}, y_{0}) $ a uma reta $ ax + by + c = 0 $ é:
Vamos assumir que a equação da reta tangente seja $ y = m x + b $. Como a reta passa por $ C = (0,6) $, substituindo temos $ 6 = m \cdot 0 + b $, ou seja, $ b = 6 $. Então, a equação da reta é $ y = m x + 6 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância do centro do círculo $ O = (0,0) $ à reta $ y = m x + 6 $. Reescrevendo a equação da reta na forma geral: $ -m x + y - 6 = 0 $. Usando a fórmula da distância:
Então:
Como a reta está no primeiro quadrante, $ m $ será positivo.
Passo 6
Agora que temos a inclinação da reta $ m = 2\sqrt{2} $, podemos encontrar o ponto de tangência $ B $. Sabemos que $ B $ está no círculo $ x^{2} + y^{2} = 4 $ e na reta $ y = 2\sqrt{2}x + 6 $. Vamos substituir $ y $ na equação do círculo:
Expandindo:
Resolvendo essa equação quadrática para $ x $, encontramos as coordenadas de $ B $.
Passo 7
Resolvendo a equação $ 9x^{2} + 24\sqrt{2}x + 32 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos uma única solução:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas o valor positivo de $ x $:
Então, $ y = 2\sqrt{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{3} + 6 = \frac{16}{3} + 6 = \frac{34}{3} $
Portanto, $ B = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3}, \frac{34}{3} \right) $
Portanto, $ B = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3}, \frac{34}{3} \right) $
Passo 8
Agora, com as coordenadas de $ B $, podemos calcular a área do triângulo $ COB $. As coordenadas são:
A fórmula da área de um triângulo com vértices $ (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}) $ é:
Substituindo:
Resposta
O valor de $ A^{2} $ é $ (4\sqrt{2})^{2} = 32 $.