Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Caso convirja, determine a sua soma. (Dica: relembre que uma série geométrica converge se a razão |r|<1.)
sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Temos a série sumn=1^inftypi^n3^n+1. O conteúdo aqui é série geométrica e vamos precisar usar o teste de convergência para séries geométricas, que diz que sum r^n converge se |r|<1.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral isolando uma potência de n. Note que 3^n+1=3cdot3^n, então
pi^n3^n+1=13,pi^n3^n=13l(pi3r)^n
Isso mostra que nossa série é
sumn=1^inftypi^n3^n+1=13sumn=1^inftyl(pi3r)^n,
onde a razão é r=pi/3. Como |pi/3|>1, a série geométrica não satisfaz o critério de convergência.

Passo 3

Portanto, a série diverge e não possui soma finita.

Resposta

A série é divergente.

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