Sabendo que o vetor gradiente de uma função f aponta na direção e no sentido em que f cresce mais rapidamente, resolva o problema:
Seja a temperatura do ar em pontos do espaço dada pela função
. Uma borboleta localizada em
deseja fugir do calor o mais rápido possível. Em que direção ele deve voar?
Seja a temperatura do ar em pontos do espaço dada pela função
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos o campo de temperatura dado por f(x,y,z)=x²−y+z², e a borboleta está no ponto (1,2,1). O conteúdo aqui é gradiente e direção de máximo crescimento, mas como queremos fugir do calor, precisamos da direção de máximo decrescimento.
Passo 2
Para aplicar, calculamos as derivadas parciais de f. Sabendo que ∂f/∂x=2x, ∂f/∂y=−1 e ∂f/∂z=2z, formamos o gradiente.
O gradiente é ∇f(x,y,z)=(2x,−1,2z). Avaliando em (1,2,1) dá ∇f(1,2,1)=(2·1,−1,2·1)=(2,−1,2).
O gradiente é ∇f(x,y,z)=(2x,−1,2z). Avaliando em (1,2,1) dá ∇f(1,2,1)=(2·1,−1,2·1)=(2,−1,2).
Passo 3
Teoria na prática: ∇f aponta para onde f cresce mais rápido. Para fugir do calor (decrescer f o mais rápido), a borboleta deve voar na direção oposta a ∇f(1,2,1), ou seja (−2,1,−2).
Como queremos só a direção (um vetor unitário), normalizamos (−2,1,−2). O módulo de (−2,1,−2) é √(4+1+4)=3, então o vetor unitário é (−2/3,1/3,−2/3).
Como queremos só a direção (um vetor unitário), normalizamos (−2,1,−2). O módulo de (−2,1,−2) é √(4+1+4)=3, então o vetor unitário é (−2/3,1/3,−2/3).
Resposta
A borboleta deve voar na direção do vetor unitário
, que é o sentido de máximo decrescimento de f.